U VUE I

par 12, ce qui revient à diviser le dividende et le diviseur par un môme nombre 5xi7 (pr. 15, cor. 2).

CoKOLLAiKE 2. Lorsque le dividende et le diviseur sont termines par un ou plusieurs zéros, on peut, sans changer le quotient, supprimer à leur droite un môme nombre de zéros. Ainsi, au lieu de diviser 36000 par 1200, on divisera 360 par 12, ce qui revient à diviser le dividende et le diviseur par un môme nombre 100 (pr. 5, rem.).

PROPOSITION XIX

Tout diviseur 6 commun au dividende 48 et au diviseur 18 divise le reste 12 de leur division,- et tout diviseur, commun au diviseur 18 e< au reste 12 de /a division, divise le dividende US.

1“ On a 48 — 18x2 = 12 (pr. 13, rem. 1); or 6 divise, par hypothèse, le dividende 48 ; il divise aussi le diviseur 18, et, par conséquent, 18x2 qui est multiple de 18(pr. 11, cor.) ; donc 6, divisant 48 et 18x2, divise leur différence 12 (pr. 11, rem.).

2° On a 48= 18x2+12 (pr. 13, rem. 1). Par hypothèse, le nombre 6 divise le reste 12 ; il divise aussi le diviseur 18 '

et, par suite , le produit 18x2 ; donc 6 , divisant 18x2 et 12, divise leur somme 48 (pr. 11).

PROPOSITION XX

Lorsqu'on multijjlie ou qu’on divise le dividende 48 et le diviseur 18/>ar un même nombre 6, le quotient ne change pas, mais le reste est 77iultiplié ou divisé par ce noinbre.

1° On a 48=18x2 + 12. Multipliant 18 et 12 par 6, le produit 18x2 (pr. 4, cor. 1) et la somme 48 seront multipliés •'

par 6; de sorte qu’on aura 48x6 = (18x6)x2+12x6. !

De plus, le reste 12 étant mpindre que le diviseur 18, on a J

30 ARITHMÉTIQDE.

12x6<18x6 : donc 2 est le plus gi'and nombre de fois que 18x6 est contenu dans 48x6 ou, autrement, si l'on divise le nouveau dividende 48x6 par le nouveau diviseur 18x6, on obtiendra le même quotient 2 et le nouveau reste 12x6.

2« On prouverait , de même, qu’en divisant ^ par on obtiendrait le même quotient 2 et, pour reste,

' PROPOSITION XXI

O Lorsque le dividetule 68 augmente ou diminue d’un certain nombre de fois le diviseur 12, le quotient 5 augmente ou diminue du même nombre de fois l’unité,mais le reste 8 de la division ne change pas.

1° On a 68=12x5+8. Ajoutant de part et d’autre 12x3, on aura 68+12x3 = 12x (5+3) + 8. Or le reste 8 étant moindre que le diviseur 12, on voit que 5+3 est le plus grand nombre de fois que 12 est contenu dans (68+12x3); ou , autrement , • que si l’on divise le nouveau dividende (68+12x3) par le même diviseur 12, on obtiendra le nouveau quotient (5 + 3), et le môme reste 8.

2" On prouverait, de même , qu’en divisant (68—12x3) par 12, on obtiendrait le nouveau quotient (5 — 3) et le môme reste 8.

Corollaire 1. Lorsque la différence de deux nombres, (68+12x3) et 68 , est un multiple 12 X 3 d'un troisième nombre 12, les restes qu' on obtient , en divisant les deux premiers nombres par le troisième , sotit égaux entre eux. * Car le plus grand dividende (68+12x3) est égal au plus petit 68 augmenté d’un certain nombre de fois le diviseur 12.

Corollaire 2. Réciproquement, lorsqu en divisant deux nombres, lO’i- et 68, par un troisième nombre 12, on' obtient le même reste 8, la différence des deux premiers nombres est ,^un multiple du troisième. Car on a (pr. 13, rem. 1) 104=12 ‘ X8 + 8, 68 = 12x5+8 et, par suite, 104— 68=12 >c8