LIVRE

premier plus 2 fois le premier plus 6 fois le premier, ou à 9 fois le premier; donc le premier nombre e^. 'gai à ou à 91 ; le second nombre est 91x2 ou 182, et le troisième 182x3 ou 546.

Les trois nombres 91 , 182 , 546 satisfont au problème ; car on a 91 + 182+546 = 819.

PROBLÈ.ME vil.

^ Trouver un nombre de deux chiffres tel que la somme de ces chiffres considérés comme exprimant des unités simples soit égale à et que le nombre quon obtient en intervertissant l’ordre des chiffres soit égal au nombre primitif augmenté de 45 .

L’augmentation qu’éprouve le nombre demandé provient uniquement de l’excès du chiffre des unités sur celui des dizaines; or chaque unité de cet excès, comptée comme dizaine, produit une augmentation de 9 unités ; donc le chif- , fre des unités excède celui des dizaines d’autant d’unités'*;

que 9 est contenu de fois dans 45, c’est-à-dire de 5 unités.

Le problème est ainsi ramené à celui-ci : trouver deux chiffres tels que leur somme soit égale à Met que leur différence soit égale à 5 (prob. 4) ; d’où l’on conclut que 38 est le nombre demandé.

PROBLÈME VIII

^ Trouver trois nombres tels que 63 soit la somme des deux premiers, 74 celle du premier et du troisième, et 87 celle des deux derniers.

11 résulte de l’énoncé du problème que la somme (63+74 +87) ou 224 se compose du double du premier nombre, du double du second et du double du troisième, ou que 224 est

Aimil.METIQUE.

égal au double de la somiiie des trois nombres demandés ; donc cette somme est égale au quotient 112 dp la division de 224 par 2 ; mais 63 est la somme des deux premiers , donc (112 — 63) ou 49 est égal au troisième ; 74 est ta somme du premier et du troisième, donc (112 — 74) ou 38 est égal au second; enfin 87 est ta somme des deux derniers, donc (112—87) ou 25 est égal au premier.

Les trois nombres 25, 38, 49 satisfont au problème; car on a 25+38= 63, 25 + 49 = 74, 38+49 = 87.

PROBLEME IX

^ On a mêlé 10 lilres d'eau avec 20 litres de vin à 1 2 sous ; trouver le prix d’un litre du mélange.

Le nombre des litres du mélange e.st (10 + 20) ou .30; donc, en supposant que l’eau ne coûte rien, 30' du mélange vaudront 12*x20 ou 240’; donc un litre vaudra ^*ou8‘.

PROBLÈME X

^ On rt 20 lilres de vin à i2sous; trouver combien il faut y mêler d’eau pour que le mélange revienne à 8 sous le litre.

20 litres à 12’ valent 240'; donc, en supposant que l’eau ne coûte rien , le prix du mélange sera 240’ ; mais chaque litre du mélange doit coûter 8'; donc le nombre des litres du mélange est égal à ^ ou à 30; donc (30—20) ou 10 est le nombre de litres demandé.

PROBLÈME XI

On a mêlé 15 lilres de vin à 8 sous le litre avec 5 lilres de vin à 12 sous; trouver le prix d’un litre du mélange.

ioogi

i.n iiK I.

15‘ à 8‘ valent S’x 15 ou 120'; 5' à 12' valent 12*x5 ou 60'; or 15‘+5' = 20' ; donc le mélange se compose de 20, qui valent (120'+60*) ou 180*; donc un litre du mélange vaut ou 9 sous.

PROBLÈME XII

^ On a des vins à\‘l sous et à S sous le litre ; trouver combien il faut prendre de litres de chaque qualité pour en former un mélange de 20 litres à 9 sous.

Les 20 litres du mélange vaudront 9‘ x 20 ou 180‘. Si ces litres étaient composés exclusivement de vin à 12*, ils vaudraient 12*x20 ou 240% c’est-à-dire (240‘— 180*) ou 60* de plus que le prix du mélange ; il faut donc remplacer un certain nombre de litres à 12“ par un môme nombre de litres à 8“ , de sorte que le prix des 20' diminue de 60“ ; or, en remplaçant 1' à 12* par 1‘ à 8*, on diminue le prix des 20' à 12“ de (12‘— 8“) , ou de 4' ; donc il faudra faire cette substitution autant de fois que 4“ sont contenus dans 60“, c’est-à-dire 15 fois ; donc il faut prendre 15' à 8’ et, par suite, (20‘— 15') ou 5'à 12“, pour former le mélange demandé.

PROBLÈME XIII

y On a des pièces de 2 francs et de 5 fratics ; trouver combien il faut donner de pièces de chaque espèce pour payer 52 francs avec 20 pièces.

Si l’on donnait 20'’ de 2% on paierait 2'x20 ou 40% c’està-dire (52'— 40% ou 12' de moins ; il faut^lonc remplacer un certain nombre de pièces de 2' par un môme nombre de pièces de 5' ; mais, en remplaçant 1 p de 2' par 1 p de 5', on paie (5'— 2') ou 3' de plûs, donc il faudra faire cette substitution autant de fois que 3' sont contenus dans 12' , c’est-à-dire 4 fois; donc on donnera 4 pièces de 5' et, par suite, (20—4) ou 16 pièces de 2 francs.

3f> ARITHMÉTIQUE.

Les nombres 16 et 4 satisfont au problème; car IGp de 2^ valent 32^• 4 p de 5' valent 20', et on a 32' +20' =52'.

PROBLÈME XIV

'h Un voleur, qui s'est échappé d'une prison, fait 2 lieues par heure ; 6 heures apres son départ , on e^^ voie à sa poursuite un gendarme qui fait 5 lieues par heure; trouver dans combien d’heures le gendarme rattrapera le voleur.

Avant le départ du gendarme, le voleur a fait 2’x6 ou 12'; mais, tandis que le voleur fait 2' en l**, le gendarme en fait 5 , donc l** après son départ, le gendarme s’est rapproché du voleur de (5'— 2') ou de 3' ; donc il rattrapera celui-ci dans un nombre d’heures égal à ^ , c’est-à-dire dans 4 heures.

PROBLÈME XV

Un père et son fis travaillent ensemble : pour Ajournées de travail du père et \ % journées du fils, ils reçoivent 84 francs; pour Ajournées de travail du père et il journées du fils, ils reçoivent 63 fraiics ; trouver combien chacun d’eux gagne par jour. ff

Il résulte de l’énoncé, que la différence (84'— 63') ou 21' provient exclusivement de la différence (18i— lli ) ou 7J des journées de travail du üls ; donc le fils gagne 21' dans ; donc il gagne ou 3' par jour. Retranchant de 84' le gain

3' X 18 ou 54', pour 18 journées de travail du ûls, le reste 30' sera le gain du père pour 6 journées ; donc le père gagne ou 5' par jour.

PROBLÈME XVI

Un père et son fils travaillent ensemble : pour Zjour-

LIVllE I.

nées de travail du phe et ^3 journées du fils, ils reçoivent 42 francs ; pour 2 journées de travail du père et 1 journées du fils, ils reçoivent 31 francs; trouver combien chacun d'eux gagne par jour.

En supposant, successivement, que le père et le fils travaillent 2 fois plus de temps que dans le premier cas , et 3 fois plus de temps que dans le second, on trouve que , pour 6 journées du père et 18 journées du fils, ils recevraient 84% et que, pour 6 journées du père et 21 du fils , ils recevraient 93% ce qui ramène la solution du problème à celle du précédent.

PROBLÈME XVII

Un père a 48 ans et son fils 1 2 ans ; trouver dans combien d'années l'âge du père ne sera plus que le double de celui du fils.

La différence entre l’âge du père et celui du fils est actuellement (48*— 12‘) ou 36*, et sera toujours 36* (déf. 2 , rem. 6°) ; mais, lorsque l’âge du père sera le double de celui du fils, la différence de leurs âges sera l’âge même du fils ; donc alors le fils aura 36*; donc ce sera dans (36*— 12*) ou dans 24* que l’âge du père sera le double de celui du fils.

PROBLÈME XVIII

Un père a 48 ans et son fils 12 ans ; trouver dans combien d années l'âge du père sera le triple de celui de son fils.

On voit, comme précédemment, que la différence entre l’âge du père et celui du fils est et sera toujours 36*; mais, lorsque l’âge du père sera le triple de celui de son lils , la

ARlïlIMKTIOrE.

différence de leurs âges sera le double de celui du fils; donc alors le double de l’tlge du fils sera 36* ; donc le fils aura la moitié de 36* ou 18"; donc ce sera dans (18*— 1*2*) ou dans 6* que l’âge du père sera le triple de celui du fils.

PROBLÈME XIX

Deux personnes réunissent leurs dîners; la première donne 5 plats et la seconde 3 plats. Une troisième personne, qui prend part au repas, donne 8 francs pour sonécot; trouver de quelle manière les deux premiers convives doivent se partager celte somme, pour que les dépenses soient égales.

Puisque le troisième convive a donné 8*^ pour son écot et que les dépenses sont égales, le prix total du dîner est 8'x3 ou 24'; donc cbaque pial vaut ou 3', et les 5 plats du premier convive valent 3'x5ou 15'; or il a mangé pour 8', donc il doit recevoir (15'— 8')'ou 7'; les 3 plats du deuxième convive valent 3' x 3 ou 9' ; donc il recevra (9'— 8') ou 1'.

PROBLÈME XX

Étant donné un carré divisé en neuf carrés égau.v entre eux, écrire aux centres de ces carrés les neuf premiers nombres, de manière que la somme de trois chiffres quelconques , situés en ligne droite , soit constante.

Supposons le problème résolu , et appelons a, b, c, d, e,f, (J, h, i, les chiffres écrits dans les différentes cases du carré donné.

1“ La somme 45 de tous ces chiffres se compose des trois sommes égales rt + 6+c, d^-e+f, (/ + /» + /, de trois chiffres situés en ligne

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LIVIIE t.

droite ; donc chacune de ces sommes partielles est égale au tiers de iô ou au nombre 15, et il en est de même des cinq autres somm(*s w-j-cZ+ÿ, b •y c ^ h ^ c -\- f -f- 1 , o -f" c -é i,c *t- c -t- 2“ La somme 15x4 ou 60, des quatre nombres a + tZ+< 7 , Î+/+C, c + 5 + rt, se compose de [a-\-i] x2 + (ÿ + c) X 2 + (f/ +/) + (6 + A) ; or a + j =ÿ +c = (Z +/ = 6 + A , puisque chacun de ces nombres ajouté au chiffre e du milieu reproduit le nombre 15; donc C0 = (« + «)x6 et, par suite, o-f-Z = ^ = 10; donc e = 15 — 10 = 5.

3“ La somme 15x2 des deux nombres a + d + g, g + h + i est un nombre pair ; d’aillcui-s cette somme se compose du nombre pair a -f- i ou 10, du nombre pair g x 2 et du nombre rZ-f-Zt; donc (Z -f A est aussi un nombre pair ; on prouverait de môme que h+f , f+b, b + d sont des nombres pairs , ce qui exige que les chiffres A, <Z, A, / soient tous pairs ou tous impairs et, par suite, que les chiffres restants a, g, i, c soient tous impairs ou tous pairs : donen-fc/ est un nombre pair et, en le retianchant de la somme a + d + g qui est égale à 15, on obtient pour d un nombre impair ; donc enfin d, h,f, b sont des nombres impairs, et «, y, i,c des nombres pairs,

4“ (iela étant, pour achever la solution du problème, substituons à la lettre u un des quatre chiffres 2, 4, 6, 8, le chiffre 2 par exemple; il en résultera i = 15 — [a + e) = 15 — 7= 8. Faisant ensuite c=4 et, par conséquent, y = 6,nousen déduirons fZ = 15 — ( a -t- y ) = 15 — 8 = 7, A = 15 — (jr -I- j ) = 15 — 14 = 1, /= 15 — (c + i) = 15— 12 = 3 et, par suite, . = 9.

Remarque. La lettre a étant susceptible des quatre valeurs^ 4, 0, 8, pour chacune desquelles la lettre c a deux valeurs, on voit que le problème admet huit solutions.

ARlTIlMETigUE.

PROBLÈMES A RÉSOUDRE

I. 8769 mètres de drap ont coûté 412143 francs-, combien coûteront 5895 mètres de drap de même qualité ?

Réponse : 277065 francs.

II. 9S79 ouvriers ont mis 6G1893 heures à faire un ouvrage-, combien 201 ouvriers mettront-ils d’heures à faire le mène ouvrage?

Réponse ; 3253 15W heures.

III. 8883 ouvriers ont fait en 4935 heures 355320 mètres d’ ouvrage ; combien 6909 ouvriers, travaillant pendant 1 1 844 heures , feront-ils de mètres du même ouvrage ?

Réponse ; 66326i mètres.

IV. La somme de deux nombres est 127744 et leur différence 33932 ; quels sont ces deux nombres ?

Réponse: 80838 et 46906.

V. Pariflf/er 93566 en deux parties, telles que l'une soit décuple de l’autre.

Les nombres demandés sont : 85060 et 8506.

VI. Partager 55158 en U parties , telles que la seconde soit triple de la première, que la troisième soit décuple de la seconde, et que la quatrième soit égale à 20 fois la troisième. «

Les nombres demandes sont 87; 261; 2610; 52200.

vu. Trouver un nombre de trois chiffres , qu^augmente de 270 lorsqu’on intervertit l’ordre de ses deux premiers chiffres à gauche , qui diminue de 396 lorsqu’on intervertit l'ordre de ses chiffres extrêmes, et dont

LIVIIE I.

la somme des chiffres considérés comme exprimant des unités simples soit égale à 17.

Réponse ; 692.

via. Trouver quatre nombres tels que 208073 soit la somme des trois premiers, 1 84425 celle des deux premiers et du quatrième, 229010 celle du premier et des deux derniers , et 1 82303 celle des trois derniers. Les nombres demandés sont 8563V; 38927; 83512; 5980V.

IX. On a mêlé 4930 litres d’eau avec 9860 litres de vin à 12 sous ; quel est le prix d’un litre du mélange?

Réponse : 8 sous.

X. On a 9860 litres de vin à 12 sous? combien faut-il y mêler d'eau pour que le mélange revienne à 8 sous le litre?

Réponse : V930 litres.

XI. On a mêlé 7995 litres de vin à 8 sous le litre avec 2665 litres de vin à 12 sous; quel est le prix d’un litre du mélange?

Réponse : 9 sous.

XII. On a des vins à 12 sous et à 8 sous le litre ; combien faut-il prendre de litres de chaque qualité pour en former un mélange de 10660 litres à 9 sous?

Réponse ; 2665 litres à 12 sous et 7995 litres à 8 sous.

XIII. On a des pièces de 2 francs et de 5 francs ; combien faut-il donner de pièces de chaque espèce pour payer 23712 francs, avec 9V20 pièces?

Réponse ; 7296 pièces de 2 fi’ancs et 182V pièces de 5 francs.

XIV. Ihi père et son fils travaillent ensemble : pour 581 4 /owr/iées de travail du père et 17442 journées du

fils, ils reçoivent francs; pour U journées

(le travail du père cl 1065Ü j'oi/r«tTS du fils, ils reçoivent 61047 francs; combien chacun d’eux (jagne-t-il par jour?

Réponse : le père gagne 5 francs par jour, et le fils 3 francs.

XV. Un père et son fils travaillent ensemble : pour ,2496 journées de travail du père et 7288 journées du fils, ils rerçoivent 34344 francs; pour 1664 journées de travail du père et journées du fils, ils reiçoivcnl 25792 francs ; combien chacun d’eux gagne-t-il par jour ?

Réponse : le père gagne 5 francs par jour, et le fils 3 francs.

XVI. Un père a 48 ans et son fils 8 ans ; dans combien d'années l'âge du père sera-t-il le gumluple de celui du fils ?

Réponse : dans 2 ans.

XVII. La différence entre l’âge d’un père et celui de son fils est /i8 ans, et dans 4 ans l’âge du père sera le (quintuple de celui du fils; quel est l’âge actuel du père et celui du fils?

Réponse : 56 ans et 8 ans.

XVIII. Deux personnes réunissent leurs dîners ; la première donne sept plats et la seconde un plat. Une troisième personne, qui prend part au repas, donne 8 francs à la première pour son écot ; trouver ce que le deuxième convive doit donner au premier, pour que les dépenses soient égales.

Réponse: 5 francs.

LIVHE II

PROI'ItlKTÉS DES DIVlSELIiS ENTIERS.

DÉFINITIONS

1. Un nombre est jymnier, lorsqu’il n’est divisible que par lui mc'me et par l’unité. Tels sont les nombres 1,2, 3, 5,7,11...

Rem.vuqi e. Il résulte de cette délinition que tout nombre, qui n’est pas premier, peut être regardé comme un produit de deu\ facteurs plus grands que l’unité (liv. i, déf. 8, rem. 1 ). La même obser\ation étant applicable à chacun de ces facteurs, qui n’est pas premier, et ainsi de suite, on voit que tout nombre, qui n’est pas premier, peut être regardé comme tin produit de plusieurs facteurs premiers plus grands que l’unité.

2. Plusieurs nondu'es 'nn\\, premiers erilre eux , lorsqu’ils n’ont pas d’autre diviseur commun que l’unité. Tels sont les nombres 6,10, 15.

3. Un nombre est premier avec un autre, lorsque ces deux nombres sont premiers entre eux (déf. 2). Tels sont les nombres 4 et 9.

Remarque. Tout nombre premier (déf. 1), qui ne divise 2ms un nombre entier, est premier avec cetui-ci.

A. Un nombre est commun diviseur de plusieurs autres nombres, lorsqu’il divise cbacun de ces nonibies.

Re.mahqle. Le plus grand commun diviseur de plusieurs nombres premiers entre eux (déf. 2) est égal à l’unité.

iî. Un nombre est commun multiple de plusieurs autres nombres , lorsqu’il est un multiple de cbacun de ces nombres.

O. Décomposer un nombre en facteurs, c’est trouver plusieurs nombres dont le produit soit égal au nombre pnqiosé.

AIIITIIMETIQUE,

Ainsi, lorsqu’on a 24 = 2x3x4, le nombre 24 est décomposé en trois facteurs 2,3,4.

7. Le produit de plusieurs facteurs égaux à un nombre est une puissance de ce nombre. Ainsi 8 et 32 sont dos puissances de 2 ; parce qu’on a 8 = 2x2x2, et32 = 2x2 x2x2x2.

8. Le degré d’une puissance d’un nombre est le nombre des facteurs de cette puissance. Ainsi 3 et 5 sont les degrés des puissances 8 et 32 du nombre 2.

Remarque. Toute puissance de 10 est égale à V unité suivie d autant de zéros qu’il y a d unités dans le degré de la puissance. Ainsi on a 10x10x10 = 1000.

9. Élever un nombre à une puissance, c’est faire un produit de plusieurs facteurs égaux h ce nombre.

10 . Le carré d’un nombre est la deuxième puissance de ce nombre (déf. 7) ou , autrement, le produit de ce nombre par lui-méme. Ainsi le carré de 5 est 5x5 ou 25.

11. Le cube d’un nombre est la troisième puissance de ce nombre ou , autrement, le produit de trois facteurs égaux à ce nombre. Ainsi le cube de 5 est 5x5x5 ou 125.

12 . Vexposant d’un nombre, qu’on élève à une puissance (déf. 9) , est le degré de cette puissance , écrit à la droite et un peu au-dessus du nombre proposé. Ainsi , pour exprimer, d’une manière abrégée, que le nombre? est élevé àla quatrième puissance, onécritT^ au lieu de7x7x7x7.

Remarque, La première puissance d’un nombre est ce nombre lui-mème , que l’on considère comme affecté d’un exposant égal à l’unité, quoiqu'il n’y ait alors ni puissance ni exposant proprement dits.

PROPOSITION PREMIÈRE

Trouver le quotient et le reste de la division d’un nombre par une puissance de 10.

Soit proposé, par exemple , de trouver le quotient et le

uvnE II.

reste de la division de 5W>7 par 100. On a 5467 = 54x100 + 67; or 67 est moindre que 100, donc en divisant 5467 par 100, on obtiendra le quotient 54 et le reste 67. En général, po\ir avoir le quotient et le reste de la division d’un nombre par une puissance de 10, il suffit de séparer sur la droite du nombre proposé autant de chiffres qu'il y a ef unités dans le degré de la puissance ; la partie à gauche et la partie à droite, considérées comme exprimant des unités simples, sont respectivement le quotient et le reste demandés.

Corollaire. Pour qu’un nombre soit divisible par une puissance de 10, il faut et il suffit que ce nombre soit terminé par au moins autant de zéros qu’il y a d’unités dans le degré de la puissance.

PROPOSITION II

Trouver le reste de la division d’un nombre 35G7 par 2 ou par 5; et, en général , par une puissance quelconque de 2 ou de 5.

1” On a 3567 = 356x10 + 7; or 10 ou 2x5 est un multiple de 2 et de 5 , donc 356x10 est aussi un multiple de 2 et de 5 ( liv. i , pr. 4 , cor. 2) ; donc le reste de la division de 3567, par 2 ou par 5, est le même que celui de la division de 7 par 2 ou par 5 (liv. i, pr. 21, cor. 1), c’est-à-dire 1 ou 2. En général , pour avoir le reste de la division d'un nombre par 2 ou par 5 , il suffit de chercher le reste de la division de son premier chiffre à droite par 2 ou par 5.

2“ Soit proposé de trouver le reste de la division de 3567 par 4 ou par 25. On a 3567 = 35x100 + 67; or 100 ou 10x10 est un multiple de 4 et de 25 (liv. i,pr.4,cor. 3), donc 35 X 100 est aussi un multiple de 4 et de 25 ; donc le reste de la division de 3567 par 4 ou par 25 est le môme que celui de 67 par 4 ou par 25 (liv.i, pr. 21, cor. 1), c’est-à-dire 3 ou 17. On verrait de môme que le reste de la division de 3567 par 2’ ou par 5’ est égal à celui de la division de 567 par 2’ ou par

<0 ARmiMKTIQltE.

5', et ainsi de suite; donc, en yénéi'al , pour avoir le reste de la divisio7i d'un nombre par une puissance de 2 ou de b, il sufJU de chercher le reste de la division, par celte puissatice, du nombi'e qu’on obtient en prenant sur la droite du nombre proposé autant de chiffres qu'il y a dunités dans le degré de la puissance.

Corollaire. Pour qu’un nombre soit divisible par 2 ou par 5 , il faut et il suffit que son premier chiffre à droite soit divisible par 2 ou par 5 ; et , en général , pour qu’un nombre soit divisible par une puissance de 2 ou de 5, il faut et il suffit que le nombre qu’on obtient , en prenant sur la droite du nombre proposé autant de chiffres qu’il y a d’unités dans le degré de la puissance, soit divisible par cette puissance.

PROPOSITION 111

Trouver le reste Je la division d,’iin nombre 4568 par 9 .

1" On a 9=9x1; 99=9x11; 999 = 9x111, etc., ce qui montre que tout nombre , formé d’un ou de plusieui^ chiffres 9 , est égal à un multiple de 9.

2“ On a, par exemple, 7000 = 1000 x7= (999-hl)x7 =999x7-f7; or 999 est un multiple de 9 (1“), donc 999 x7 est aussi un multiple de 9 (liv. i, pr. k, cor. 2) ; donc 7000 est égal à un multiple de 9, augmenté de 7 unités et, en général , tout chiflre significatif, suivi d’un ou de plusieurs zéros , est égal à un multiple de 9 augmenté de ce chifirc considéré comme exprimant des unités simples.

3“ On a 4568 =i000 -1-500-1-60-1-8; or 4000 est égal à un multiple de 9, augmenté de 4 unités; 500 est égal à un multijile de 9, augmenté de 5 unités; 60 est égal à un multiple de 9 , augmenté de 6 unités ( 2" ) ; donc 4568 est égal à un multiple de 9, augmenté de (4+5-f 6-1-8) unités (liv. 1 , pr. 9); donc le reste de la division de 4568 par 9 est le

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