I.IVKE II

môme que eeliii de la division de (4 + 5^ G 1-8) ou par !t (liv. 1 , pr. 21, cor. 1) ; on verrait de im'me que le reste de la division de 23 par 9 est égal à celui de la division de (2 + 3) ou 5 par 9 ; or on a 5<9, donc 5 est le reste de la division de 23 ou de 45G8 par 9. On en conclut cette règle générale : ■pour avoir le reste de la division d’un nombre par 9, on fait la somme de ses chiffres considérés comme exprimant des unités simples; on opère sur celte somme comme sur le nombre proposé , et ainsi de suite, jusqu'à ce qu’on obtienne un résultat qui n’ excède pas 9; lorsque ce résultat est égal à 9, le reste demandé est nul; lorsque ce résultat est moindre que 9 , il exprime le reste demandé.

CoHoi.LAiRE. Pour qu’uii nombre soit divisible par 9 , il faut et il suffit que la somme de ses chiffres, considérés comme exprimant des unités simples, soit un multiple de 9.

PROPOSITION IV

Trouver le reste de la division d'un nombre 4568 par 3.

Le nombre 4568 est égal à un multiple de 9, augmenté du reste 5 de sa division par 9; or tout multiple de 9 est aussi un multiple de 3 ; donc 4568 est égal à un multiple de 3 , augmenté du reste 5 de sa division par 9 ; donc le reste de la division de 4.568 par 3 est le même que celui de la division de 5 par 3, c’est-à-dire égal à 2. On en conclut cette règle générale : pour avoir le reste de la division d’un nombre par 3, on cherche d'abord le reste de la division de ce nombre par 9, puis le reste de la division de ce premier reste par le diviseur 3.

ItEM-uiQDE. Le nombi’c 4568 est égal à un multiple de 9, augmenté de (4 + 5+ 6+8); or tout multiple de 9 est un multiple de 3 , donc 4568 est égal à un multiple de 3, augmenté de (4 +5+ 6 + 8) ou de 23; donc, pour qu’un nombre soit divisible jiar 3, il faut et il suffit que la somme de ses

<8 AKTTHMÉTIQLE,

chiffres , considérés comme exprimant des unités simples , soit un multiple de 3.

PROPOSITION V

Trouver le reste de la division d'un nombre 395827 par 1 1 .

-4” On a 88=11 X8; 8888=88x101 ; 888888=88x10101, etc., ce qui montre que tout nombre formé d’un nombre pair de chiffres identiques est un multiple de 11.

2“ On a, par exemple, 3680000 = 10000 x 368 = (9999+1) X 368=9999x368+368; or 9999 est un multiple de 1 1 ( 1° ) , donc 9999 X 368 est aussi un multiple de 1 1 , et, par suite, 3680000 est égal à un multiple de 11, augmenté de 368 ; donc tout nombre terminé par un nombre pair de zéros est égal à un multiple de 11, augmenté de ce nombre, abstraction faite des zéros dont il s’agit , considéré comme exprimant des unités simples.

3" Le nombre proposé 395827 = 390000 + 5800 + 27 ; or 390000 est égal à un multiple de 11, augmente de 39; 5800 est égal à un multiple de 11, augmenté de 58 (2") ; donc 395827 est égal à un multiple de 11 , augmenté de (39 + 58+27) ou de 124 (liv. i,pr. 9) ; donc le reste de la division de 395827 par 11 est le même que celui de 124 par 11 ; on prouverait , de même , que le reste de la division de 124 par 11 est égal à celui de la division de ( 1+24) ou 25 par 11 , c’est-à-dire égal à 3; donc 3 est le reste de la division de 395827 par 11. On en conclut cette règle générale ; pour avoir le reste de la division d'un nombre par 11, on le sépare en tranches de deux chiffres, à partir de la droite , sauf à ne laisser qu’un seul chiffre à la dernière tranche; on fait la somme des nombres qui en résultent, considérés comme exprimant des unités simples; on opère sur cette somme comme sur le nombre proposé, et ainsi de suite, jusqu'à ce qu'on obtienne un résultat qui n'excède pas 99 ;

i.lVIIE II

le reste de la division de ce résultal par 11 est égal au reste demandé.

Corollaire. Pour qu’un nombre soit divisible par 11 , il faut et il suffit que le résultat qu’on obtient, en le séparant en tranches de deux chiffres , à partir de la droite , et en faisant la somme de ces tranches considérées comme exprimant des unités simples, soit un multiple de 11.

PROPOSITION VI

Faire la preuve par 9 de l’addition de plusieurs nombres entiers.

Supposons qu’en additionnant les nombres 38 , 25 , 49, on ait trouvé 112 pour résultat. Le nombre 38 est égal à un multiple de 9 , augmenté du reste 2 de sa division par 9 ; le nombre 25 est égal à un multiple de 9 , augmenté du reste 7 de sa division par 9 ; enfin le nombre 49 est égal à un multiple de 9 , augmenté du reste 4 de sa division par-9 ; donc la somme 112 des nombres proposés est égale à un multiple de 9, augmenté de la somme (2+7-I-4) des restes de leur division par 9 (liv. i, pr. 9); donc le reste de la division de 112 par 9 est égal à celui de la division de (2+7 + 4) ou 13 par 9. C’est la vérification de cette égalité, qui constitue la preuve par 9 de l’addition.

En général , powr /aire la preuve par 9 de V addition deplusieurs nombres entiers, on cherche le reste de la division par 9 de chacun des nombres proposés ; on fait la somme de ces restes, et on vérifie si le reste de la division de cette somme par 9 est égal au reste de la division par 9 de la somme des nombres proposés.

PROPOSITION VII

Faire la preuve par 9 de la soustraction.

Lorsqu’on a obtenu la différence 583 de deux nombres

entiers 9i7 et 304 , on regarde le plus grand de ces nombres comme la somme du plus petit et du reste, et on applique à cette somme la preuve par 9 de l’addition (pr. 6).

PROPOSITION VIII

Faire la preuve par 9 de la multiplication de dei*æ nombres entiers.

Supposons qu’en multipliant 32 par 21, on ait trouvé 672 pour résultat. Chacun des facteurs 32 et 21 est égal à un multiple de 9 , augmenté du reste de sa division par 9 ; de sorte qu’on a

et, par suite, 32 x 21= (27x18+5x18 + 27 x 3) +5 x 3.

Or, 27 et 18 étant des multiples de 9, chacun des produits 27 X 18, 5 X 1 8, 27 X 3 est un multiple de 9 ; donc leur somme est aussi un multiple de 9 ; donc le reste de la division par 9 du produit 32x21 ou 672 des nombres proposés est égal à celui de la division par 9 du produit 5x3 ou 15 des restes qu’on obtient en divisant chacun des facteurs par 9. C’est la vérification de cette égalité , qui constitue la preuve par 9 de la multiplication.

En général , pour faire la preuve par 9 de la multiplication de deux nombres entiers , on cherche les restes de la division par 9 du multiplicande et du multiplicateur; on fait le produit de ces deux restes , et Von vérifie si le reste de la division de ce produit par 9 est égal au reste de la division par 9 du produit des nombres proposés.

Remarque. Si le nombre des facteurs était plus considérable, leur produit serait encore égal à un multiple de 9 , augmenté du produit des restes qu’on obtient en divisant par 9 chacun des facteurs ; d’où il résulte que la preuve par 9 d’un produit, de tant de facteurs qu’on voudra, s’elfectue comme celle du produit de deux facteurs.