LIVRE II

Si

PROPOSITION IX

Faire la preuve par 9 de la division.

1" Lorsqu’un nombre étant divisible par un autre, on a trouvé le quotient de leur division, on regarde le dividende comme le produit du quotient parle diviseur, et on applique à ce produit la preuve par 9 de la multiplication (pr. 8).

2° Lorsque la division conduit à un reste, on regarde le dividende comme la somme du produit du quotient par le diviseur et du reste de la division , et on applique à cette somme la preuve par 9 de l’addition ( pr. 6 ) en déterminant le reste de la division par 9 , du produit du quotient par le diviseur, sans effectuer la multiplication (pr. 8) .

Remabqce. Les preuves par 11 des quatre opérations s’effectuent comme les preuves par 9 et se démontrent de la même manière. Ces deux preuves réunies rendent presque certaine l’exactitude du résultat de chaque opération.

PROPOSITION X

Trouver le plus grand commun diviseur de déuæ nombres entiers, 144 et 54.

Le plus grand commun diviseur de M et bi ne peut excéder le plus petit 54 de ces deux nombres ; or 54 se divise lui-même, donc s’il divisait aussi 144, il serait le plus grand commun diviseur demandé. On est ainsi conduit à diviser 144 par 54. En effectuant cette division, on trouve le quotiimt 2 et le reste 36; donc 54 n’est pas le plus grand

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commun diviseur demandé. Mais le plus grand commun diviseur de 144 et 54 est le même que celui de 54 et 36 : en effet, tout diviseur commun au dividende 144 et au diviseur 54 divise le reste 36 de leur division (liv.i, pr. 19), et, par conséquent, est un diviseur commun aux nombres 54 et 36; réciproquement , tout diviseur commun au diviseur 54 et au reste 36 divise le dividende 144 (liv. i, pr. 19), et, par conséquent, est un diviseur commun aux nombres 144 et 54; donc les nombres proposés 144 et 54 ont les mêmes diviseurs communs que 54 et 36; donc ils ont le môme plus grand commun diviseur. Pour s’assurer si 36 est ce plus grand commun diviseur, on est conduit , comme précédemment, à diviser le plus grand nombre 54 par le plus petit nombre 36, ce qui donne le quotient 1 et le reste 18; donc 36 n’est pas le plus grand commun diviseur demandé. On prouverait, comme précédemment, que le plus grand commun diiiseur de 54 et 36 est le même que celui de 36 et 18, ce qui conduit encore à diviser 36 par 18 : on trouve le quotient 2 et le reste 0 ; donc 18 est le plus grand commun diviseur de 36 et 18 et, par suite, celui des deux nombres proposés.

En général , pour trouver le plus grand commun diviseur de deux nombres entiers, on divise le plus grand par le plus petit , le plus petit par le reste de la division , le premier reste par le second , le second par le troisième , et ainsi de suite , jusqu'à ce qu'on obtienne un reste nul; le dernier diviseur est te plus grand commun diviseur demandé.

REM.UIQOE 1 . En appliquant cette règle à deux nombres entiers consécutifs 345 et 346, on trouve immédiatement en plus grand commun diviseur égal à l’unité ; donc deux nombres entiers consécutifs sont premiers entre eux ( déf. 2) ; ce qui résulte d’ailleurs de ce que tout diviseur commun à ces deux nombres, divisant leur différence 1 (liv. i, pr. 11, rem.), est égal à l’unité.

Remarque 2. Les divisions successives qu’on a effectuées pour trouver le plus grand commun diviseur 18 des nom-

UVKE II.

bres 144 et 54 conduisent aux égalités 36 = 18x2, 54 =36 Xl + 18 = 18 x 2 + 18= 18 x 3, 144 = 54 x 2 + 36 = 18 x6 + 18x2= 18x8 ; donc 8 et 3 sont les quotients de la division de 144 et 54 par leur plus grand commun diviseur 18.

PROPOSITION XI

Tout diviseurs commun à deux nombres, 126 et 48, divise les restes successifs 30, 18, \ 2..., auxquels conduit la recherche de leur plus grand commun diviseur.

En effet, 3 divisant 126 et 48 divise le reste 30 de leur division (liv. i, pr. 19); 3 divisant 48 et 30 divise le reste 18 de leur division , et ainsi de suite , quel que soit le nombre des restes dont il s’agit.

CoiioLLAinE. Tout diriseur 3 commun à deux nombres, 126 et 48, divise leur plus grand commun diviseur 6. Car 6 est un des restes qu’on obtient en cherchant le plus grand commun diviseur de 126 et 48 (pr. 10).

PROPOSITION XII

Lorsqu’on multiplie ou quon divise deux nombres, 1 26 et 48, par un troisième nombre 3, les restes successifs 30, 18, 12..., auxquels conduit la recherche de leur plus grand commun diviseur , sont multipliés ou divisés par ce môme nombre.

1“ En effet, 30 étant le reste de la division de 126 par 48, 30x3 sera celui de la division de 126x3 par 48x3 (liv. i , pr. 20) ; pareillement, 18 étant le reste de la division de 48 par 30, 18x3 sera celui de la division de 48x3 par 30x3, et ainsi de suite, quel que soit le nombre des restes primitifs ; donc, en chercliaiil le plus grand commun diviseur des produits 126x3, 48x3, on oblie;idia les restes

AlUTHMETiyUE.

successifs 30x3, 18x3, 12x3..., qui sont les produits des restes primitifs par le nombre 3,

2® On prouverait , de môme , qu’en tlierchant le plus grand commun diviseur des quotients on obtiendrait

les restes successifs v» 't-- CoHoi.LAiRE. Lorsqu’on multiplie ou qu’on divise deux nombres, 126 et 48, par un troisième nombre 3, le plus grand commun diviseur 6 des deux premiers nombres est multiplié ou divisé par le troisième. Car 6 est un des restes qu’on obtient en cherchant le plus grand commun diviseur de 126 et 48.

PROPOSITIOîi XIII.

Trouver le plus grand commun diviseur de plusieurs nombres entiers 432 , 162 , 36 , 30 .

Tout diviseur commun aux nombres proposés , divisant 432 et 162, divise leur plus grand commun diviseur 54 (pr. 11, cor.), et, par conséquent, est un diviseur commun aux nombres 54, 36, 30; réciproquement, tout diviseur commun aux nombres 54 , 36, 30, divisant 54, divise scs multiples 432,162 (liv. i,pr. ll,cor.), et, par conséquent, est un diviseur commun aux nombres 432, 162 , 36, 30; donc les nombres proposés 432, 162, 36, 30 ont les mêmes diviseurs communs que les nombres 54 , 36, 30 ; donc ils ont le même plus grand commun diviseur. Le plus grand commun diviseur de 54 et 36 étant 18 , on prouverait, comme précédemment, que le plus grand commun diviseur des nombres 54, 36, 30 est le même que celui de 18 et 30, c’est-à-dire égal à 6 ; donc 6 est le plus grand commun diviseur des nombres proposés.

En général , pour trouver le plus grand commun diviseur de tant de nombres entiers qu'on voudra , on cherche le plus grand commun diviseur des deux premiers nombres , puis le plus grand commun diviseur de ce plus grand commun