LIVRE

diviseur et du troisième ■nombre, et ainsi de suite; te dernier plus grand commun diviseur obtenu est celui des nombres proposés.

Remarque. L’ordre dans lequel on opère sur les nombres proposés étant arbitraire, on choisit, dans chaque cas particulier, celui qui paraît le plus propre à simplifier les calculs.

PROPOSITION XIV

Tout diviseur 3 commun à plusieurs nombres, 432, 162, 36, 30, divise leur plus grand commun diviseur.

En efTet, 3 divisant 432 et 162 divise leur plus grand commun diviseur 54 (pr. 11 , cor.); 3 divisant 54 et 36 divise leur plus grand commun diviseur 18 ; 3 divisant 18 et 30 divise leur plus grand commun diviseur 6, qui est celui des nombres proposés (pr. 13).

PROPOSITION XV

Lorsqu’on multiplie ou qu’on divise plusieurs nombres, 432, 162, 36, 30, par im même nombre 3, leur plus grand commun diviseur est multiplié ou divisé par ce nombre.

1“ En effet, 54 étant le plus grand commun diviseur de 432 et 162, celui de 432x3 et 162x3 sera 54x3 (pr. 12, cor.) ; pareillement, 18 étant le plus grand commun diviseur de 54 et 36, celui de 54x3 et 36x3 sera 18x3 ; enfin, 6 étant le plus grand commun diviseur de 18(‘t 30, celui de 18x3 et 30 X 3 sera 6x3; donc le plus grand commun diviseur des produits 432 x 3 , 162 x 3, 36 x 3, 30 x 3 est 6 x 3 ou le pro- ’ duit du plus grand commun diviseur primitif par le nombre 3.

2” On prouverait, de même , que le plus grand commun diviseur des queüenls ^ est f.

AKITII.METigUE.

CoROLLAiHE. Lorsqu’oii veut trouver le plus grand commun diviseur de plusieurs nombres 2Vx 17, 36x17, 30x17, qui ont un facteur commun 17 en évidence, on peut opérer en faisant abstraction de ce facteur, pourvu qu’on multiplie le plus grand commun diviseur 6 des quotients 2^ , 36, 30, par le facteur 17 qu’on a supprimé- On obtient ainsi le plus grand commun diviseur 6x17 ou 102 des nombres proposés. On trouvera de la mémo manière le plus grand commun diviseur 6x100 ou 600 des nombres 2400, 3600, 3000, qui admettent le facteur commun 100.

PROPOSITION XVI

Lorsqu on divise plusieurs tfombres, 24, 36, 54, par leur plus grand commun diviseur 6 , les quotients 4 , 6, 9 sont premiers entre eux; et réciproquement, lorsque les cptotients 4, 6, 9, qu'on obtient en divisant plusieurs nombres 2-4, 36, 54 par un meme nombre 6, sont premiers entre eux, ce nombre est le plus grand commun diviseur de ceux qui ont servi de dividendes.

1" Le plus grand commun diviseur des nombres 24, 36 , 54 étant 6, celui des quotients ^ ou 4, ^ ou 6, ^ ou 9 est I ou 1 (pr. 15); donc ces quotients sont premiers entre eux (déf. 2).

2° Les quotients 4, 6 , 9 étant , par hypothèse , premiers entre eux, leur plus grand commun diviseur est l’unité; donc celui des produits 4x6 ou 24, 6x6 ou 36, 9x6 ou 54 est 1x6 ou 6 (pr. 15).

PROPOSITION XVII

Tout nombre 4 r/wî divise un produit 9x12 de deux facteurs, et qui est premier avec un des facteurs , 9 , divise l'autre facteur \‘2.

UVIIE II. o7

Les nombres 9 et 4 étant, par liypothèse, premiers entre eux, leur plus grand eommun diviseur est l’unité ; donc celui des produits 9x12, 4x12 est 1x12 ou 12 (pr.15); or 4 divise, par hypothèse, leproduit 9x 12; il divise aussi 4x 12, qui est un multiple de 4; donc 4, divisant ces deux produits, divise leur plus grand commun diviseur 12 (pr. 11, cor.).

PROPOSITION XVIII

Tout nombre premier 7, qui divise un produit 12x15x18x35, divise au moins l’un de ses facteurs.

Le produit 12x15x18x35 peut être considéré comme décomposé eu deux facteurs 12et 15x18x35 (liv. i, pr.4). Cela étant, si le nombre premier 7, qui divise ce produit, ne divise pas le facteur 12, il est premier avec 12 (déf. 3, rem.) et, par suite, il divise l’autre facteur 15x18x35 (pr. 17); on prouverait de même que, si 7 ne divise pas 15 , il divise 18x35, et que s’il ne divise pas 18, il divise 35; donc 7 divise au moins l’un des facteurs du produit 12x15x18x35.

CoROLLAiHE. Tout nombre premier 7 , qui divise une puissance 14’’ d’un nombre 14, divise ce nombre. Car 14“ est un produit de trois facteurs égaux à 14 (déf. 12).

PROPOSITION XIX

Tout nombre 4, premier avec chacun des facteurs d'un produit 9x15X21, est premier avec ce produit.

En effet, si le nombre 4 et le produit 9 X 15x21 n’étaient pas prcmiei’s entre eux, ils admettraient, comme diviseur commun , au moins un nombre premier plus grand que l'unité. De plus, ce nombre premier divisant 9x15x21 diviserait au moins l'un des facteurs de œ produit (pr. 18), le facteur 15 par exemple; alors 4 et 15 auraient un diviseur

AUlTHMETigUE.

commun autre que l’unité, et, contrairement à l’hypothèse, ne seraient pas premiers entre eux ; donc 4 est premier avec le produit 9x15x21.

Corollaire 1. Tout nombre 4, premier avec un autre nombre est premier avec une puissance quelconque de celui-ci. Car toute puissance de 9 est un produit de plusieurs facteurs égaux à 9.

Corollaire 2. Lorsque deux nombres, 4 et 9, sont premiers entre eux, toute puissance 4’ de l’un est première avec une puissance quelconque 9® de Vautre. Car 4 , étant premier avec 9, est premier avec 9® (cor. 1) ; et 9® , étant premier avec 4, est premier avec 4* (cor. 1).

PROPOSITION XX

Tout nombre 360 , divisible par deux nombres , 4 et 9 , premiers entre eux, est divisible par leur produit.

Le nombre 360 étant divisible par 4, est un multiple de 4 (liv. I, pr. 10), et on a 360=4x90; mais, par hypothèse, le nombre 9 divise le produit 360 et il est premier avec le facteur 4, donc il divise l’autre facteur 90 (pr. 17), et on a 90=9x10 ; remplaçant 90 par 9x10 dans l’égalité précédente, il vient .360=4x (9xl0) = 4x9xl0; donc 360 est un multiple de 4x9; donc il est divisible par ce produit (liv.i, pr. 10).

Corollaire 1 . Tout nombre 3600, divisible par plusieurs nombres 4, 9, 25, premiers entre eux deux à deux, est divisible par leur produit. Car 3600, étant divisible par les nombres 4 et 9 premiers entre eux , est divisible par leur produit : de plus , le nombre 25 , étant premier avec 4 et avec 9, est premier avec leur produit 4x9 (pr. 19); donc 3600, étant divisible par les nombres 4x9 et 25 premiers entre eux, est divisible p ir leur produit 4x9x25.

Corollaire 2. Le plus petit cotnmun multiple de plusieurs

LIVKIi II.

nombres 4 , 9 , 25, premiers entre eux {Jeux à deu.ty est égal à leur produit 4 X 9 X 25. Car tout commun multiple des nombres 4, 9, 25, étant divisible par chacun d’eux, est divisible par leur produit (cor. t ) , et, par suite, ne peut être moindre que ce produit.

PROPOSITION XXI

Tout commun multiple 1440 de deux nombres, 48 et 18, est un multiple du produit Gx8x3 qui a pour facteurs le plus grand commun diviseur G de ces nombres et les quotients, 8 et 3, de leur division par ce plus grand commun diviseur; et réciproquement, tout multiple de ce produit est un commun multiple des deux nombres proposés, 48 et 1 8.

1” On a 48 = 8x6 et 18 = 3x6. Mais 1440, étant un multiple de 48, est divisible par 48 ou par 8x6; donc le quotient est divisible par 8 (liv. i, pr. 10, cor. 1); on prouverait de même que 4^ est divisible par 3 ; or 8 et 3 sont premiers entre eux (pr. 16); donc 4^ est divisible par 8x3(pr. 20); donc 1440 est divisible par le produit 6x8x3 (liv. I, pr. 10) ou, autrement, 1440 est un multiple de ce produit.

2“ Tout multiple du produit 6x8x3 est aussi un multiple de 8x6 et de 3x6 (liv. i, pr. 4, cor. 3); or 8X6 = 48 et 3x6 = 18, donc tout multiple de 6x8x3 est un commun multiple de 48 et 18.

C 0 K 01 .LAIHE 1. Tout commun multiple de 48 et 18 étant un multiple du produit 6x8x3 (1°); et réciproquement, tout multiple de 6x8x3 étant un commun multiple de 48 et 18(2°), il en résulte que ce produit est le plus petit comniun multiple de 48 et 18; donc le plus petit commun multiple de deux nombres est è<j(d nu produit qui u poux

60 AHITIIMÉTIUUF..

facteurs le plus grand commun diviseur de ces nombres et les quotients de leur division par ce plus grand commun diviseur.

Corollaire 2. Tout commun multiple de deux nombres , 48 et 18, estun multiple de leur plus petit commun multiple 6x8x3.

Corollaire 3. Le produit 6x8x3=48x3 = 18x8; donc le plus petit commun multiple de deux nombres , 48 et 18, est égal au produit de l’un quelconque de ces nombres par le quotient de ta division de l’autre nombre par leur plus grand commun divisetcr.

Corollaire 4. En multipliant le plus petit commun multiple 6x8x3 des nombres 48 et 18 par leur plus grand commun diviseur 6, on a 6 x 8 x 3x6 = 6x8x(3x6) = 48x18; donc le produit du plus grand commun diviseur de deux nombres, 48 et 18, par leur plus petit commun multiple est égal au produit 48 X 18 des deux nombres proposés.

PROPOSITION XXII

Lorsqu'on multiplie ou qu’on divise deux nombres , 48 et 1 8 , par un même nombre 2 , leur plus petit commun multiple 6x8x3 est multiplié ou divisé par ce nombre.

1° En effet , 6 étant le plus grand commun diviseur de 48 et 18, celui des produits 48x2 et 18x2 est égal à 6x2 (pr. 12); de plus, 8 et 3 étant les quotients obtenus en divisant 48 et 18 par leur plus grand commun diviseur 6 (pr.21, cor. 1) , CCS mêmes nombres 8 et 3 sont les quotients qu’on obtient en divisant les produits 48 x 2 et 18 x 2 par leur plus grand commun diviseur 6x2 (liv.i, pr. 18); donc le plus petit commun multiple des produits 48 X 2 et 18x2