LIVRE II

CA

est (6x2)x8x3 ou(6x8x3)x2 (liv.i.pr. 3), ce qu’il fallait démontrer.

2'’ On prouverait , de môme , que le plus petit commun multiple des quotients ^ et ^ est | X 8 X 3 ou (liv. I, pr. 15).

PROPOSITION XXIII

Trouver le plus petit commun multiple de plusieurs nombres entiers 6, 8, 9, 10.

Le plus petit commun multiple des nombres 6 et 8 étant 24 , celui des nombres proposés 6,8,9, 10 est le même que celui des nombres 24, 9, 10. En effet, tout commun multiple des nombres 6, 8, 9, 10, étant multiple de 6 et 8 , est un multiple de 24 (pr. 21 , cor. 2) et, par conséquent , un commun multiple des nombres 24, 9, 10; réciproquement, tout commun multiple des nombres 24, 9, 10, étant un multiple de 24, est multiple de 6 et 8 (liv. i,pr. 4, cor. 2) et, par suite , un commun multiple de 6, 8, 9, 10 ; donc les nombres proposés 6, 8, 9, 10 ont les mêmes communs multiples que les nombres 24, 9, 10; donc ils ont le môme plus petit commun multiple. Le plus petit commun multiple de 24 et 9 étant 72, on prouverait, comme précédemment, que le plus petit commun multiple de 24, 9 , 10 est le môme que celui des nombres 72 et 10 , c’est-à-dire 360. On en conclut cette règle générale : pour trouver le plus petit commun multiple de plusieurs nombres entiers, on cherche le plus petit corn mun multiple des deux premiers nombres ; puis le plus petit commun multiple de ce plus petit commun multiple et du troisième nombre, et ainsi de suite; te dernier plus petit commun multiple est celui des nombres proposés.

Remarque. L’ordre dans lequel on opère sur les nombres proposés étant arbitraire, on choisit celui qui parait 1e plus propre à simplifier les calculs.

AltlTHMETIQl'E.

PROPOSITION XXIV

Tout commun multiple, 720 , de plusieurs 7iombres 6 , 8 , 9 , 10 , est un multiple de leur plus petit commun multiple.

En effet, 720 , étant un commun multiple des nombres 6 et 8, est un multiple de leur plus petit commun multiple 24 (pr. 21, cor. 2) ; 720, étant un commun multiple des nombres 24 et 9, est un multiple de leur plus petit commun multiple 72; enfin, 720, étant un commun multiple des nombres 72 et 10 , est un multiple de leur plus petit commun multiple 360 , qui est le plus petit commun multiple des nombres proposés (pr.23).

PROPOSITION XXV

Lorsqu'on multiplie ou qu’on divise plusieurs nombres 12 , 16 , 18 , 20 , par un même nombre 2, leur plus petit commun multiple 720 est multiplié ou divisé par ce nombre.

1” En effet, 48 étant le plus petit commun multiple des nombres 12 et 16 (pr.21, cor. 3) , celui des produits 12x2 et 16x2 est 48x2 (pr.22) ; pareillement, 144 étant le plus petit commun multiple des nombres 48 et 18, celui des produits 48x2 et 18x2 est 144x2; enfin, 720 étant le plus petit commun multiple des nombres 144 et 20 , celui des produits 144x2 et 20x2 est 720 x 2.

2" On prouverait , de môme , que le plus petit commun multiple des quotients ^ est

Corollaire 1. Lorsque les nombres, dont on cherche le plus petit commun multiple, ont un facteur commun en évidence, on peut opérer en faisant abstraction de ce fac-