LIVRE II

leur, pourvu qu’on multiplie le plus petit commun multiple, ainsi obtenu, par le facteur qu’on a supprimé. On trouve, de cette manière, que le plus petit commun multiple des nombres 6x3, 8x3, 10x3 est 120x3 ou 360, et que celui des nombres 600, 800, 1000 est 120x100 ou 12000.

Corollaire 2. Lorsque les quotients 4 , 9, 25, qu’on obtient en divisant plusieurs nombres 24 , 54-, 150, par leur plus grand commun diviseur 6, sont premiers entre eux deux à deux, le plus petit commun multiple de ces nombres est un produit qui a pour facteurs ces quotients et le plus grand commun diviseur des nombres proposés. Car le plus petit commun multiple des quotients 4 , 9, 25 est 4x9x25 (pr. 20, cor. 2) et, par suite, celui des produits, 4x6 ou 24, 9x6 ou 54, 25 x 6 ou 150, est 4x9x25x6.

PROPOSITION XXVI

Lorsqu’on divise le plus petit commun multiple 72 de plusieurs nombres 8, 12, 18, par chacun de ces nombres, les quotients 9, 6, 4 sont premiers entre eux,et réciproquement , lorsqu’un nombre 72 est tel qu’en le divisant par plusieurs autres, 8, 12, 18, on obtient des quotients 9, 6, h premiers entre eux, ce nombre est le plus petit commun multiple de tous les autres.

1® Car si les quotients 9,6,4 avaient un diviseur commun 3 plus grand que l’unité, en divisant par les mêmes nombres 8, 12, 18, on obtiendrait des quotients entiers (liv. I, pr. 16) ; donc les nombres proposés 8, 12, 18 auraient un commun multiple ^ (liv. i, pr. 4 , cor. 2) moindre que leur phis petit commun multiple 72, ce qui est absurde; donc les quotients 9, 6, 4 sont premiers entre eiix.

2° Car si un nombre moindre que 72 , était le plus petit commun multiple des nombres 8, 12, 18 (pr. 24), en

AiiiTHMf:Tigi:E.

le divisant par cluicun de ces nombres, on obtiendrait des quotients entiers trois fois plus petits que les quotients primitifs 9,6, 4 [liv.i, pr.l6); donc ces quotients auraient un diviseur commun 3 plus grand que l’unité , ce qui est contre la supposition ; donc 72 est le plus petit commun multiple des nombres 8, 12, 18.

PROPOSITION XXVII

La suite des nombres premiers est illimitée.

Il suffit de prouver qu’étant donné un nombre premier 7, aussi grand qu’on voudra , il existe au moins un nombre premier plus grand que 7.

Considérons le produit 2x3x5x7, quia pour facteurs le nombi’e premier 7 et ceux qui le précèdent, excepté l’unité. En divisant le nombre (2x3x5x74-1) par 2, on obtient le quotient 3x5x7 et le reste 1 ; donc ce nombre n’est pas divisible par 2 ; on voit de môme qu’il n’est divisible par aucun des nombres 3 , 5,7; donc tout diviseur premier du nombre (2x3x5x74-1), autre que l’unité, est supérieur à 7 ; donc il existe au moins un nombre premier plus grand que 7.

PROPOSITION XXVIII

Tout nombre entier 43 est premier, lorsqu’étant compris entre les carrés, 25 et 49, de deux nombres premiers consécutifs, 5 et 7, il îi’est divisible ni par le plus petit de ces nombres premiers , ni par aucun de ceux qui le précèdent, excepté l'unité.

En effet , si le nombre 43 n’était pas premier, il serait décomposable en plusieurs facteurs premiers plus grands que l’unité (déf. 1, rem.). De plus, l’un au moins de ces facteurs serait inférieur à 7, puisqu’on a 43 <7x7; donc

uvnE II.

43 serait divisible par un nuinbre premier compris entre 1 et 7 ( liv. 1 , pr. 10, cor. 1 ), ce qui est contre la supposition ; donc 43 est un nombre premier.

PROPOSITION XXIX

Former une table qui contienne tous les nombres premiers, depuis l’unité jusqu’à un nombre donné 100, aussi grand qu’on voudra.

Aucun nombre pair, excepté 2, n’étant un nombre premier, écrivons les uns à la suite des autres les nombres premiers 1,2, 3, et les nombres impairs 5, 7, 9, 11... , jusqu’à (100—1) ou 99.

Tl,

Chacun des nombres 5 et 7, compris entre les carrés 4^ et 9 des nombres premiers 2 et 3, n’étant pas divisible par

2 , est un nombre premier (pr. 28). La différence de deux nombres impairs consécutifs étant 2 unités, tandis que celle de deux multiples de 3 , impairs et consécutifs, est 3x2 ou 2x3, on voit que tout multiple de 3, contenu dans cette table, est placé trois rangs plus loin que celui qui le précède immédiatement. On pourra donc supprimer facilement tous les multiples 9, 15, 21..., 99, du nombre premier 3, en observant qu’ils sont placés de trois en trois rangs à partir de 9 : alors chacun des nombres 11 , 13, 17, 19, 23, compris entre les carrés 9 et 25 des nombres premiers

3 et 5, n’étant pas divisible par 3 ni par 2, est un nombre premier (pr. 28). Supposons, de même, qu’on ait supprimé tous les multiples do 5 , qui sont placés de cinq en cinq rangs à partir de 25; les nombres 29, 31, 37, 41, 43, 47, compris entre les carrés 25 et 49 des nombres premiers 5

et 7, n’élant divisibles par aucun des nombres 2, 3 , 5 , sont des nombres premiers. Enfin, si l’on supprime tous les multiples de 7, qui sont placés de sept en sept rangs à partir de 49, les nombres 53, 59, 61..., 97, compris entre les carrés 49 et 121 des nombres premiers 7 et 11 , n’étant divisibles par aucun des nombres 2, 3, 5, 7, seront des nombres premiers.

En général, pour former une table qui contienne tous les nombres premiers depuis l’unité jusqu'à un nombre donné , aussi arand qu'on voudra , o?i écrit , les uns à la suite des autres, les nombres premiers 1,2,3, et les nombres impairs 5, 7, 9 ... , jusqu'à la limite donnée; on supprime les multiples de 3, qui sont placés de trois en trois rangs à partir de 9 , puis les multiples de 5 , qui sont placés de cinq en cinq rangs à partir de 49, et ainsi de suite, jusqu'à ce qu’on ail supprimé les multiples du plus grand nombre premier dont le carré est contenu dans la limite donnée : tous les nombres qui restent dans la table sont premiers.

PROPOSITION XXX

^ Reconnaître si un nombre donné 1 67 est premier.

Le chiffre 7 étant impair, 167 n’est pas divisible par 2 (pr. 2, cor.). La somme (1 + 6 -1-7 ) ou 14 n'étant pas un multiple de 3, 167 n’est pas divisible par 3 (pr. 4, rem.). Le chiffre 7 n’étant pas un multiple de 5, 167 n’est pas divisible par 5 (pr.2, cor.). En divisant 167 par 7, on trouve le quotient 23 et le reste 6; donc 167 n’est pas divisible par 7. La somme (674-1) ou 68 n’étant pas un multiple de 11, 167 n’est pas divisible par 11 (pr. 5, cor.). De plus , en divisant 167 par 11 et par 13 on obtient les quotients 15 et 12-et les l’estes 2 et 11 ; donc

et, par suite,

167>1P, 167<13“; donc 167 est un nombre premier (pr.28).

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