LIVRE II

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En général, pour reconnaître si un nombre donné est premier, il sujyn de s’assurer si ce nombre n’est divisible par aucun des nombres premiers 2, 3, 5, 7, etc., jusqu'à ce qu'une division conduise à un quotient égal ou inférieur au nombre premier employé comme diviseur.

PROPOSITION XXXI

Un nombre nest décomposahle que d’une seule maniéré en facteurs premiers plus gratids que l'unilé.

Soienta, b, c, d..., a', b', c' , d' deux systèmes de facteurs premiers plus grands que l’unité , dont les produits sont égaux à un même nombre , et , par suite , égaux entre eux. Il s’agit de prouver que ces deux produits ont leurs facteurs égaux chacun à chacun.

On a par hypothèse

ax6xcx<i... = fl'x6'xc'xd'...

Cela étant , le nombre premier a , qui divise le premier produit (liv. i, pr. 10, cor. 1) , divise aussi le second ; donc il divise au moins un facteur de ce produit (pr. 18) , le facteur' a' par exemple ; ce qui exige que a=a' (déf. 1). Divisant le premier produit par a et le second par a' , on a

ôxcxrf... = 6'xe'x<l'... (ax. 2).

On prouverait de même que le facteur b , du premier produit, est égal à un facteur, b' par exemple, du second produit, et ainsi de suite; donc les deux produits ay.bxcy.d... , a'-x.b'x.c' xd'... ont leurs facteurs égaux chacun à chacun.

Corollaire, lorsqu’un nombre est divisible par un autre, le premier contient tous les facteurs premiers du second; et réciproquement.

PHOPOSITION XXXII.

Décomposer un nombre 360 en facteurs premiers plus grands que l'unité.

Le nombre 360 admet le diviseur 2 (pr. 2, cor.) , et donne pour quotient 180, qui admet aussi le diviseur 2 et donne pour quotient 90 , qui admet encore le diviseur 2 et donne pour quotient 45. Le chiffre 5 étant impair, 45 n’est pas divisible par 2; mais la somme (4+5) étant un multiple de 3, 45 admet le diviseur 3 (pr. 4, rem.) et donne pour quotient 15, qui admet encore le diviseur 3 et donne pour quotient le nombre premier 5, qui , divisé par 5, donne le quotient 1. Cela étant, le nombre proposé 360 est égal au produit 2x2x2x3x3x5 de tous les nombres premiers qui ont servi de diviseurs. En effet, si , au lieu de diviser 360 par 2, le quotient 180 par 2 , et ainsi de suite , on divisait 360 par le produit 2x2x2x3x3x5,on obtiendrait le même quotient 1 (liv. 1, pr. 14) ; donc 360 = 1 X (2 x 2 x 2 x 3 x 3 x 5) =2x2x2x3x3x5.

En général , poxir décomposer un nombre en facteurs premiers plus grands que l'unité, on le divise successivement , autant de fois que cela est possible, par chacun des nombres premiers 2,3, 5... , qu’il admet comme diviseurs, jusqu’à ce qu'on obtienne pour quotient un nombre premier; ce dernier quotient et tous les nombres qui ont servi de diviseurs sont les facteurs premiers du nombre proposé.