I.IVRE II

Remarque. On a 2x2x2x3x3x5 = 2’x3“x5 (liv. i, pr. 4); donc 360=2’ X 3* x 5.

PROPOSITION XXXIII

Le plus grand commun diviseur de plusieurs nombres, 480 , 360 , 144 , est égal au produit des facteurs premiers communs à ces nombres, chacun de ces facteurs étant affecté du plus petit de ses exposants datis les nombres proposés.

On a (pr. 32)

et il s’agit de prouver que (2’ x 3) ou 24 est le plus grand commun diviseur des nombres proposés.

Chacun des nombres 480, 360, 144, contenant tous les facteurs de 24 (liv. i, déf 6),estdivisiblepar24 (liv. i, pr. 10, cor. 2); de plus, en divisant par 24 ou 2’ x 3 celui des nombres proposés qui contient 3 facteurs égaux à 2 , on obtient un quotient 3x5 (liv. i, pr. 15, cor. 2) qui ne contient pas le facteur 2; on voit de même qu’en divisant chacun des nombres proposés par 24, l’un au moins des quotients ne contiendra pas le facteur 3, et ainsi de suite, quel que soit le nombre des facteurs premiei*s du commun diviseur 24; donc les trois quotients 2*x5, 3x5, 2x3 ainsi obtenus n’ont aucun facteur premier commun autre que l’unité et sont premiers entre eux; donc 24 est le plus grand commun diviseur des nombres proposés (pr.l6).

Corollaire. On n'altère pas le plus grand commun diviseur de deux nombres , lorsqu'on multiplie ou qu'on divise l'un d'eux par un troisième nombre, premier avec l'autre. Car en opérant ainsi , on n’a introduit ni supprimé aucun facteur premier commun aux deux nombres proposés. 11 en résulte , dans certains cas , un moyen de simplifier la recherche du plus grand commun diviseur de deux nombres.

Ainsi , par exemple, pour trouver le plus grand commun diviseur de 4800 et 21 , on divise 4800 par 100 qui est premier avec 21, puis 21 par 7 qui est premier avec 48, ce qui ramène le calcul à la recherche du plus grand commun diviseur de 48 et 3.

PROPOSITION XXXIV

Le plus petit commun multiple de plusieurs nombres, 480, 360 , i44, est égal au produit des facteurs premiers de ces nombres, chacun de ces facteurs étant affecté du plus grand de ses exposants dans les nombres proposés.

On a 480 =2^x3x5, 360=2»x3»x5, 144=2^X3^ et il s'agit de prouver que (2®x3“x5) ou 1440 est le plus petit commun multiple des nombres proposés.

Le produit 1440, contenant tous les facteurs de 480, 360, 144, est divisible par chacun de ces nombres; de plus, en divisant 1440 par celui des nombres proposés qui contient S fois le facteur 2, on obtient un quotient 3 qui ne contient pas le facteur 2; on voit de môme qu’en divisant 1440 par chacun des nombres proposés, l’un au moins des quotients ne contiendra pas le facteur 3, et ainsi de suite , quel que soit le nombre des facteurs premiers de 1440; donc les trois quotients 3, 2-, 2x3 ainsi obtenus n’ont aucun facteur premier commun autre que l’unité et sont premiers entre eux; donc 1440 est le plus petit commun multiple des nombres proposés (pr.26).

PROPOSITION XXXV

Trouver tous les diviseurs d'un nombre 360.

Tout nombre qui divise 360 a ses facteurs premiers compris dans ceux de 360 (pr. 31, cor.); et réciproquement,