LIVRE II

360 est divisible par tout nombre dont il contient les facteurs premiers; donc on aura tous les diviseurs de 360 en prenant les facteurs premiers de ce nombre et les produits de ces mômes facteurs combinés deux à deux , trois à trois, etc., de toutes les manières possibles.

A cet effet, on décompose 360 en facteurs premiers (pr.32); on muftiplie le premier facteur 2 parle second, ce qui donne le diviseur 4 qu’on écrit à la droite du multiplicateur; on multiplie 4 par le troisième facteur 2, ce qui donne le diviseur 8, qu’on écrit à la droite du multiplicateur; on multiplie, par le premier facteur 3, chacun des diviseurs précédents, ce qui donne les produits 6, 12, 24, qu’on écrit à la droite du multiplicateur, et ainsi de suite, jusqu’à ce qu’on ait employé le dernier facteur 5 comme multiplicateur; les facteurs premiers 1 , 2 , 3, 5 de 360 , et les produits ainsi obtenus sont les diviseurs demandés.

En général, pcwr trouver tous les diviseurs d’un nombre, on décompose ce nombre en facteurs premiers; on multiplie le premier facteur pur le second , les deux premiers facteurs et leur produit par le troisième facteur, en omettant les multiplications qui donneraient des produits déjà obtenus; on multiplie de même les trois premiers facteurs et les produits obtenus par le qualriéme facteur , et ainsi de suite , jusqu’à ce qu’on ait employé le dernier facteur comme multiplicateur; tous les facteurs premiers du nombre proposé et les produits qu’on a effectués sont les diviseurs demandés.

Remarque. On peut obtenir autrement les diviseurs de 360 en multipliant l’unité et les trois premières puissances 2 , 4 , 8 du facteur premier 2 , successivement par l’unité

et les deux premières puissances 3, 9 du facteur premier 3, ce qui donne (3 + 1) x (2+1 ) produits qu’on multiplie par l’unité et la première puissance 5 du facteur premier 5. On obtient ainsi (3 + 1) x (2 + l)x(l + l) ou 24 diviseurs. En général, le nombre des diviseurs (Tun nombre, décomposéen facteurs premiers plus gra7idsque l’unité, est égal au produit des sommes qu'on obtient en augmentant l’exposant de chaque facteur premier d'une unité.

Dans le cas particulier où le nombre proposé est une puissance d’un nombre premier, le nombre de ses diviseurs est égal au degré de cette puissance augmenté d’une unité. Ainsi on reconnaît immédiatement que le nombre des diviseurs de 343 ou 7’ est égal à 4.

PROPOSITION XXXVI

Trouver tous les diviseurs communs à plusieurs nombres 48 , 36 , 30 .

Tout diviseur, commun aux nombres 48, 36, 30, divise leur plus grand commun diviseur 6 (pr. 14); et réciproquement, tout diviseur de 6 divise 48, 36, 30, qui sont des multiples de 6; donc les diviseurs 1, 2, 3, 6 du plus grand commun diviseur 6 sont les diviseurs demandés.

En général , pour trouver tous les diviseurs communs à plusieurs nombres, on cherche k plus grand commun diviseur de ces nombres; puis, tous les diviseurs de ce plus grand commun diviseur (pr. 35).