LIVRE II

Puisqu’en divisant 4-7 par le nombre demandé on obtient le reste 11, ce nombre divise (47—11) ou 36; on voit de même que le nombre demandé divise (51—3) ou 48 ; de plus , lorsqu’on divise 47 et 51 par un nombre supérieur à 11 et commun diviseur de 36 et 48, on obtient les restes 11 et 3 (liv. I, pr.21, cor. 1); donc le nombre demandé est égal au plus grand commun diviseur 12 de 36 et 48.

PROBLÈME II

Un ouvrier, qui gagne plus de Tl francs par jour, reçoit 48 francs pour plusieurs journées de travail; le même ouvrier reçoit 54 francs pour un autre nombre de journées de travail; trouver ce qu'il gagne par jour.

Chacun des nombres 48 et 54 étant un multiple du nombre de francs que l’ouvrier gagne par jour, ce dernier nombre divise 48 et 54, et, par suite, leur plus grand commun diviseur 6 (pr. 11) ; or les diviseurs de 6 sont 1, 2, 3, 6 (pr. 35); donc le gain de l’ouvrier, excédant 3' par jour, est égal à 6'.

PROBLÈME III

Trouver le plus petit nombre qui , divisé par G , par 8 et par 9, donne le même reste 4.

Puisque le nombre demandé divisé par 6 donne le reste 4 , ce nombre est égal à un multiple de 6 , augmenté de 4 unités; on voit de même que le nombre demandé est égal à un multiple de 8 , augmenté de 4 , et à un multiple de 9 , augmenté de 4 ; de plus, tout commun multiple des nombres 6, 8, 9, augmenté de quatre unités, est tel qu’en le divisant par l’un quelconque des nombres 6, 8, 9, on obtient le reste 4 ; donc on aura le nombre demandé en cberchant le plus petit commun multiple des nombres 6, 8, 9, et en l’augmentant de 4 unités , ce qui donne 76.

AHITIIMETIQUE.

PROBLÈME IV

Trouver un nombre de deux chiffres qui, divisé par 8 et par 9 , donne le même reste 3 .

En raisonnant comme pour résoudre le problème précédent, on voit que le nombre demandé est un commun multiple des nombres 8 et 9, augmenté de 3 unités ; or, tout commun multiple de 8 et 9 est un multiple de leur plus petit commun multiple 72 (pr. 21, cor. 2), et (72x2+3) ou 14.7 contient plus de deux chiffres; donc (72 + 3) ou 75 est le nombre demandé.

PROBLÈME V

Trois mobiles parcourent une circonférence; le premier rencontre le second toutes les 6 heure's , et le second rencontre le troisième toutes les 8 heures ; trouver le temps qui s’écoule entre deux rencontres simultanées et successives des trois 7nobiles.

Il résulte de l’énoncé que deux rencontres simultanées des trois mobile» ont lieu dans le même temps qu'une ou plusieurs rencontres du premier avec 1e second , et du second avec le troisième; donc te nombre des heures qui s’écoulent entre deux rencontres simultanées des trois mobiles est un commun multiple des nombres 6 et 8 , et , par suite , un multiple de leur plus petit commun multiple 24 ; réciproquement, tout multiple de 24, étant un commun multiple des nombres 6 et 8 , exprime le nombre des heures qui s’écoulent entre deux rencontres simultanées des trois mobiles ; donc le temps qui s’écoule entre deux rencontres simultanées et successives des trois mobiles est égal à 24 heures.

LIVIIE II.

PROBLÈME VI

Trots mobiles parcourent dans le même sens une circonférence qui a 3G0 métrés d’étendue ; le premier parcourt 34 métrés par heure; le second 16 métrés, et le troisième 4 mètres; trouver le temps qui s’écoule entre deux rencontres simultanées et successives des trois mobiles.

Entre deux rencontres successives du premier et du second mobile, le premier parcourt une circonférence ou 360“' de plus que le second ; mais, dans une heure, le premier parcourt (3i“— 16") ou IS"" de plus que le second; donc le temps qui s’écoule entre deux rencontres successives de ces deux mobiles est ou 20'> ; ou trouvera de même que le second rencontre le troisième toutes les 30‘‘; de sorte que la solution du problème se trouve ramenée à celle du précédent, et le nombre d’heures demandé est égal au plus petit commun multiple 60 des nombres 20 et 30.

PROBLÈME VII

Trouver le plus petit nombre qui admette G diviseurs.

Le nombre 6 ou 2 X 3 n’étant décomposable que d’une seule manière en plusieurs facteurs plus grands que l'unité, on voit que tous les nombres qui admettent 6 diviseurs sont des cinquièmes puissances d’un nombre premier ou des produits de deux nombres premiers inégaux et affectés respectivement des exposants 1 et 2 (pr. 35, rem.) ; mais 2 et 3 sont les plus petits nombres premiers supérieurs à l’unité ; donc le plus petit nombre qui admette 6 diviseurs est un des nombres 2'^x3, 2x3■^ 2’ : or on a 2-x3<2x.3* <2^ donc 2^x3 ou 12 est le nombre demandé.

AUITHMETIQUE.

PROBLÈMES A RÉSOUDRE

I. Quel est le plus grandnombre tel que, si l’on divise 20836, 5G477 , 25788 , par ce nombre, on obtienne les restes 46, 47, 48 ?

Réponse ; 990.

II. Quel est le nombre de trois chiffres tel que, en divisant 630641 , 381 1 62 , 901 1 33 , 41 5814, par ce nombre, on obtienne les restes 11, 12, 13, 14?

Réponse : 110.

III. Quel est le plus petit nombre qui, divisé par 4095 , par 5202 et par 24300, donne le môme reste 587?

Réponse : 639066287.

IV. Quel est le nombre de onze chiffres qui, divisé par 1008, par 4860, par 105336 et par 109380, donne le même reste 549 ?

Réponse: 51847433109.

V. Quatre mobiles parcourent une circonférence; le premier rencontre le second toutes les 30 heures,- le second rencontre le troisième toutes les 48 heures, et le troisième rencontre le quatrième toutes les 50 heures,quel est le temps qui s’écoule entre deux rencontres simultanées et successives des quatre mobiles?

Réponse ; 1200 heures.

VI. Deux personnes, dont l’une a 38 ans et l’autre 60 ans, demandent à une troisième personne quel est son âge? Celle-ci répond : mon âge est compris entre