NUMÉRATION DES FRACTIONS

Pour énoncer une fraction on énonce son numérateur, puis son dénominateur auquel on ajoute la terminaison ième. Ainsi la fraction qu’on obtient en partageant l’unité en sept parties égales et en prenant quatre de ces parties, s’énonce quatre septièmes. Il y a exception pour les dénominateurs deux , trois, quatre; ainsi , au lieu de dire un deuxième , un troisième, un quatrième , on dit un demi , un tiers, un quart.

Pour simpliûer l’écriture d’une fraction, on écrit les deux termes en chiffres, de manière que le numérateur soit audessus du dénominateur, et on les sépare par un trait horizontal. Ainsi la fraction quatre septièmes s’écrira

C. Simplifier une fraction ou la réduire à une plus simple expression , c’est rendre ses deux termes moindres sans changer sa valeur.

7. Une fraction est irréductible ou ré luite à sa plus simple expression , lorsqu’elle ne peut être simplifiée. Telles sont évidemment les fractions j.

8. Réduire plusieurs fractions à un même dénominateur, c’est trouver des fractions égales aux fractions proposées , et dont les dénominateurs soient tous égaux entre eux.

9. Multiplier une quantité par une fraction , c’est diviser cette quantité par le dénominateur de la fraction, puis multiplier le quotient par son numérateur : le résultat se nomme produit. Ainsi, multiplier 21 par \ , c’est prendre la septième partie 3 de 21, et la répéter quatre fois, ce qui donne le produit 12.

Remarque 1. La multiplication d’une quantité par une fraction comprend, en général, une division et une multiplication proprement dites (liv. i, déf.8 et 3) , et ces deux

opérations se réduisent à une seule lorsque le numérateur de la fraction multiplicateur est l’unité (liv. i, déf. 3, rem. 1).

Remarque 2. Le produit d’une quantité par une fraction est égal au multiplicande , plus petit ou plus grand que le multiplicande, selon que la fraction multiplicateur est égale à l’unité, plus petite ou plus grande que l’unité. Car prendre, par exemple , sept fois la septième partie d’une quantité , c’est prendre cette quantité tout entière , et prendre moins ou plus que sept fois la septième partie d’une quantité, c’est prendre moins ou plus que cette quantité.

10 . Deux nombres sont inverses l’un de l’autre, lorsque leur produit est égal à l’unité. Ainsi, l’inverse du nombre 6 est la fraction | ; car le produit du nombre 6 par \ est égal à la sixième partie de 6 (déf. 9) ou à l’unité.

11 . Di viser une quantité par une fraction, c’est trouver une quantité, appelée quotient, qui, multipliée par le nombre diviseur (déf. 9], reproduise la quantité dividende.

Remarque 1. Le dividende ou le produit du quotient par le diviseur est égal au quotient, plus petit ou plus grand que le quotient, selon que le diviseur est égal à l’unité, plus petit ou plus grand que l’unité (déf. 9, rem. 2); ou , autrement, le quotient est égal au dividende, plus petit ou plus grand que le dividende, selon que la fraction diviseur est égale à l'unité, plus grande ou plus petite que l’unité.

Remarque 2. La définition de la division d’une quantité par un nombre entier peut être considérée comme un cas particulier de celle où le diviseur est une fraction (liv. i, déf. 8, l’ein.l).

PROPOSITION PREMIÈRE

Toute fraction -^peut être considérée comme le quotient de la division de soti numérateur 4 par son dénominateur 7 .

En effet , pour diviser 4 par 7, il suffit de diviser par 7

MVRR III.

chacune fies qui composfuit le nombre 4 (liv. i, pr.l2), ce qui donne i répété quatre fois, ou la fraction y.

Corollaire 1. Supposons qu’en divisant 39 par 7 (liv. i, pr. 13), on ait obtenu le quotient 5 et le reste ï. Puisqu’en divisant i par 7 on obtient la fraction 1e quotient complet de la division de 39 par 7 sera 5+| (liv. i,pr.l2); donc pour compléter le quotient d'une division qui ne s’effectue pas exactement, il suffit de joindre à ce quotient une fraction qui a pour numérateur le reste de la division, et pour dénominateur le diviseur.

Corollaire 2. Pour mettre une fraction , plus grande que t unité et dont le numérateur n'est pas divisible par le dénominateur, sous la forme d'un entier Joint à une fraction moindre que l'unité, il suffi de diviser son numérateur par son dénominateur en complétant le quotient de la division. On trouve ainsi = 4+-;7-

PfiOPOSITION II.

Lorsqu'on multiplie ou qu’on divise le numérateur d'une fraction par un nombre entier, la fraction est multipliée ou divisée par ce nombre.

1° Soit la fraction ^ dont on multiplie le numérateur 12 par 3. La fraction ^ , qui en résulte , est trois fois plus grande que

En effet, le dénominateur 7, commun aux deux fractions, montre que chacune d’elles contient un certain nombre de septièmes (déf. 3) ; or le numérateur 36 de la seconde est, par hypothèse, trois fois plus grand que le numérateur 12 delà première; donc la seconde fraction contient trois fois plus de septièmes que la première ( déf. k ) ; donc elle est trois fois plus grande.

2° On prouverait de môme qu’en divisant le numérateur de ^ par 3, la fraction qui en résulte, est trois fois plus petite que '-f-.

Corollaire. Pour convertir un nombre entier 6 en une fraction dont le dénominateur soit égal à un nombre donné 9 , on prend pour numérateur de la fraction demandée le produit 54 de son dénominateur par le nombre entier 6. Cela résulte de ce qu’une unité étant égale à la fraction | , six unités valent |xÇ ou

PROPOSITION III

Lorsqu'on multiplie ou qu’on divise le dénominateur d’une fraction par un nombre entier, la fraction est divisée ou multipliée par ce nombre.

1" Soit la fraction dont on multiplie le dénominateur 12 par 3. La fraction qui en résulte, est trois fois plus petite que

En effet, le numérateur 7, commun aux deux fractions , montre qu’elles contiennent le même nombre de parties aliquotes de l'unité ; mais le dénominateur 36 , trois fois plus grand que 12, exprime que l’unité est partagée en trois fois plus de parties égales dans la seconde fraction que dans la première ; donc chaque partie aliquote de l’unité est trois fois plus petite dans la fraction ^ que dans la fraction ; donc ^ est trois fois plus petite que

2" On prouverait de même qu'en divisant le dénominateur de par 3, la fraction qui en résulte, est trois fois plus grande que

PROPOSITION IV

Une fraction ne change pas de valeur lorsqu’on multiplie ou qu’on divise ses deux termes par un même nombre entier.

1“ Soit la fraction \ dont on multiplie les deux termes par