LIVRE III

un même nombre 3. La fraction qui en résulte, est égale à .

Car, en multipliant le numérateur 4 par 3 ,^on obtient la fraction ^ trois fois plus grande que ^ (pr.2) ; mais, en multipliant par 3 le dénominateur 7 de ^ , on obtient la fraction ^ trois fois plus petite que ^ (pr. 3) et, par suite, égale à y.

2® On prouverait de même qu’en divisant les deux termes d’une fraction par un même nombre 6 , la fraction |, qui en résulte , est égale à

PROPOSITION V

Réduire des fractions — , —, — au même dénomi-

8 12 lo

naleur.

Le nombre 72 étant le plus petit commun multiple des dénominateurs 8, 12, 18 (liv. ii, pr. 23) , si l’on divise 72 par le dénominateur 8 , on aura un quotient entier 9 et, en multipliant par 9 les deux termes de la fraction on obtiendra une fraction égale à | (pr. 4) et dont le dénominateur sera 72 ; on a de même une fraction ^ égale à ^ et dont le dénominateur est 72 , en multipliant les deux termes 7 et 12 par le quotient 6 de la division de 72 par 12 ; enfin, en multipliant les deux termes de par le quotient 4 de la division de 72 par son dénominateur , on obtient la fraction || égale à et dont le dénominateur est 72 ; de sorte que les fractions satisfont à l’énoncé.

En général, pour réduire des fractions au même dénominateur, on prend, pour dénominateur commun, le plus petit commun multiple de tous les dénominateurs , et on multiplie le numérateur de chaque fraction par le quotient de la division de ce plus petit commun multiple par son dénominateur.

Remarque 1. Lorsqu’on a trouvé le plus petit cominun multiple 72 ou 2^x3* des dénominateurs 8 ou 2’ , 12 ou

Si AIllTHMÉTIQUE.

2'^ X 3, 18 OU 2'X 3* en décomposant chacun de ces nombres en facteurs premiers (liv. 2, pr. 32), on obtient immédiatement le quotient de la division du produit 2’ x 3* par un dénominateur, en supprimant tous les facteurs de ce dénominateur dans le produit (liv. i, pr. 15, cor. 2). Ainsi on a

Remarque 2. Lorsque les dénominateurs des fractions proposées sont premiers entre eux deux à deux, leur plus petit commun multiple est égal à leur produit (liv. 2, pr, 20, cor. 2); alors la règle précédente se transforme en celle-ci : 1“ pour réduire ou même dénominaleur deux fractions dont les dénominateurs sont premiers entre eux, on multiplie les deux termes de chaque fraction par le dénominateur de l'autre; 2° pour réduire au même dénominateur plusieurs fractions, dont les dénominateurs sont premiers entre eux deux à deux , on multiplie les deux termes de chaque fraction par le produit des dénominateurs dl toutes les autres.

ADDITION

PROPOSITION VI

Additionner des fractions

En réduisant ces fractions au même dénominateur 36 (pr. 5) , on obtient les fractions

dont la somme est

ou — .

En général, pour additionner plusieurs fractions, on les réduit au même dénominateur ; on fait la somme des numérateurs qui en résultent, et Von prend cette somme pour numérateur d'une fraction à laquelle on donne pour dénominateur le dénominateur commun.