LIVRE
ou
Donc le produit de deux fractions est une fraction qui a, pour numérateur , le produit des numérateurs des fractions proposées et , pour dénominateur, le produit de leurs dénominateurs.
Remarque. L’inverse d'une fraction y est égal à cette fraction renversée. Car on a |Xï = ^ = 1 (dcf. 10).
PROPOSITION X
Effectuer le produit 5 x yx3 x-^ de tant de facteurs qu'on voudra, entiers et fractionnaires.
Le produit du nombre entier 5 par la fraction y est ^ (pr. 8); le produit de cette fraction par le nombre entier 3 est (pr. 2); enfin le produit de cette fraction par ggt»i^(pr. 9 ). donc
5x-x3Xt 7= — =— i — 7 11 7x11
En général , le produit de tant de nombres qu’on voudra , entiers et fractionnaires, est égal à une fraction dont le numérateur a pour facteurs les nombres entiers et les numérateurs des fractions proposées, et dont le dénominateur est égal au produit des dénominateurs de ces mêmes fractions.
Remarque. Lorsque les deux termes de la fraction résultante ont des facteurs communs, on abrège le calcul en supprimant ces facteurs avant d’effectuer les multiplications (pr.4).
PROPOSITION XI
Le produit de plusieurs facteurs, entiers et fractionnaires, ne change pas, lorsqu’on intervertit l’ordre des facteurs.
88 AHlTHUÉTigUE.
Car, que! que soit l’ordre dans lequel on effectue les multiplications, la fraction résultante aura pour numérateur et pour dénominateur les produits des mêmes facteurs entiers (pr. 10) , et l’on sait que le produit de plusieurs nombres entiers ne change pas, quand on intervertit l’ordre des facteurs.
Corollaire 1. Pour multiplier un nombre par un produit, il suffit de multiplier ce nombre par le premier facteur , le produit obtenu par le second facteur, et ainsi de suite, jusqu'à ce qu'on ait employé , comme multiplicateur, le dernier facteur du produit. Môme démonstration que pour la proposition k (liv. i).
Corollaire 2. Lorsqu'on multiplie un facteur d^un produit par un nombre, le produit est multiplié par ce nombre. Même démonstration que pour le corollaire 1 de la proposition 4 (liv. i).
VROPOSITION XII.
Le produit de la somme (3 + 5 + 12) de plusieurs quantités par une fraction y est égal à la somme des produits qu'on obtient en multipliant chcujue partie de la somme par cette fraction.
Il s’agit de prouver que
En effet, multiplier (3-1-5+12) par|, c’est prendre la septième partie de cette somme et la répéter quatre fois ; or la septième partie de (3 + 5 + 12) est(f + | + y)(liv. i,pr.l2), et , pour multiplier cette somme par 1 , il suffit de multiplier par 4 chacune de ses parties ; donc le produit demandé est
UVItE III.
Réciproquement. Le 'produit (Tune quantité 13 par une somme ^ de plusieurs fractions , | f“t | , est égal à la somme des produits qu'on obtient en multipliant cette quantité par chacune des parties de la somme proposée. Car on a
13x^=-!^X(5 + 2) = ^x5+-!;fx2=13x|+13x|.
Corollaire. Le produit d’une somme par une autre est égal à la somme des produits qu'on obtient en multipliant la première somme successivement par chacune des parties de la seconde.
DIVISION
• PROPOSITION XIII
Le ([uolienl de la division d’une (juanlilé par une fraction ^ est égal à celle quantité multipliée par la fraction diviseur renversée.
Le quotient doit être tel que multiplié par le diviseur | il reproduise le dividende (déf.11); or multiplier une quantité pai^ c’est en prendre les cinq liuiliènies (tléf. 9 j, donc les cinq huitièmes du quotient valent le dividende ; donc un huitième du quotient vaut le cinquième du dividende et, par suite, le quotient total vaut les huit cinquièmes du dividende ou le produit du dividende par
En prenant pour dividendes le nombre entier 3 et la fraction on a
Corollaire 1. Le quotient de la division de l'unité par une f raction est égal à celle fraction renversée.
Car on a 77 t= 1 X -r = •;-•
Corollaire 2. Le quotient de la division de deux fraetions de même dénominateur est une fraction qui a, pour numéra-
AftlTHMETlQUE,
leur, celui de la fraction dividende et, pour dénominateur, le numérateur de la fraction diviseur.
Car on a
CuHOLLAHiE 3. Le quotient de la division de deux fractions de même numérateur est une fraction qui a , pour numérateur, le dénominateur de la fraction diviseur et, pour dénominateur, celui de la fraction dividende.
Car on a
(it) 8 7^ 8x7 ^ 7
Remarque. Les propositions 10, 11, 12, 14, 15, 16, 17, 18 du livre i et quelques-unes de leurs conséquences immédiates, étant fondées sur des principes applicables aux nombres fractionnaires comme aux nombres entiers, s’étendent elles-mêmes à ces deux espèces de nombres.
PROPOSITION XIV. 41
Diviser un nombre entier joint à une fraction par un nombre entier joint à une fraction.
Soit proposé de diviser (3+|) par (7+f). En convertissant le dividende et le diviseur en fractions (pr.6, cor.), on a
En général , pour diviser un nombre entier joint à une fraction par un nombre entier joint à une fraction, on convertit le dividende et le diviseur en fractions, ce qui ramène le calcul à la division d'une quantité par une fraction (pr. 13).
Remarque. L'addition , la soustraction et la multiplication des nombres entiers joints à des fractions se ramènent,
