FRACTIONS IRRÉDUCTIBLES

PROPOSITION XV

Lorsqu’une fraction — est égale a une fraction —

dont les deux termes sont premiers entre eux, les deux termes de la première sont égaux respectivement aux deux termes de la seconde, multipliés par un même nombre entier.

En effet, les fractions ^ et | étant égales , si on les réduit au même dénominateur 27 x 9 , les numérateurs des fractions résultantes seront égaux entre eux ; donc on aura 12x9 = 4x27.

Or 9, divisant le proJuit 12x9, divise aussi 4x27; de plus , 9 est premier avec 4 par hypothèse , donc il divise 27 (liv. 2, pr. 17) , et, en supposant que 3 soit le quotient entier de la division de 27 par 9, on aura 27 = 3x9 et , par suite, 12x9 = 4x3x9 (liv. i, pr. 4) ; divisant ces deux produits égaux par 9 , il vient 12 = 4x3; donc les deux termes 12 et 27 de la première fraction sont égaux respectivement aux deux termes 4 et 9 de la seconde, multipliés par le nombre entier 3.

PROPOSITION XVI

Toute fraction y, dont les deux termes sont premiers entre eux, est irréductible ; et réciproquement, les deux termes d’une fraction ^irréductible sont premiers entre eux.

1" Car les deux termes de toute fraction égale à ^ , étant l’un multiple de 4 et l’autre multiple de 9 (pr. 15), sont au moins égaux aux nombres 4 et 9 ; donc la fraction ^ ne peut être simplifiée ; donc elle est irréductible (déf.7).

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