LIVRE ni

2“ Car, si 4 et 9 avaient un commun diviseur plus grand que l’unité, en les divisant par ce diviseur, on diminuerait les deux termes de la fraction sans changer sa valeur (pr. 4) ; donc ^ pourrait être simplifiée (déf. 6), ce qui est contre la supposition (déf. 7) ; donc 4 et 9 sont premiers entre eux.

Corollaire. Deux /radions irrcdudibles , égales entre elles, ont les mêmes termes. Car, les deux termes de chaque fractj^n étant premiers entre eux (2"), leurs numérateurs et leurs dénominateurs sont mutuellement multiples l’un de l’autre (pr.l5) et, par suite, égaux entre eux.

PROPOSITION XVII

Pour réduire une fraction ~ à sa plus simple exprèssion y il suffit de diviser ses deux termes 48 et 54 par leur plus grand commun diviseur G.

En effet, la fraction |, qui en résulte, est égale (pr. 4), et ses deux termes 8 et 9 sont premiers entre eux (liv.2, pr, 16) ; donc elle est irréductible (pr. 1 6, 2“),

Kemarqle. On peut aussi réduire une fraction à sa plus simple expression, en supprimant tous les facteurs premiers communs à ses deux termes, lorsqu’on aperçoit immédiatement ces facteurs. Ainsi , par exemple , en divisant par 2 les deux termes de la fraction on obtient la fraction plus simple et, en divisant par 3 les deux* termes de celle-ci, on obtient la fraction irréductible

PROPOSITION XVIII

Le plus petit commun multiple 72 des dénominateurs

de plusieurs fractions irréductibles -r, —, -rx

plus petit dénominateur commun auquel on puisse réduire ces fractions.

AniTlÎMÉTIQrE.

En effet, toute fraction égale à la fraction irréductible | a, pour dénominateur, un multiple de 8 (pr. 16 et 15); pareillement , toute fraction égale à ^ a , pour dénominateur, un multiple de 12, et toute fraction égale à ^ a, pour dénominateur, un multiple de 18 ; donc tout dénominateur commun à des fractions , respectivement égales aui fractions proposées, est un commun multiple des dénominateurs 8, 12, 18, et, par conséquent, ne peut être moindre que le plus petit commun multiple 72 de ces dénominateurs^

PROPOSITION XIX

Lorsqu’une fraction irréductible divise une autre

fraction irréductible —, le numérateur 7 de la première divise le numérateur 35 de la seconde , et le dénominateur 48 de la première est un multiple du dénominateur i2 de la seconde; et réciproquement.

1® La fraction divisant f|, le quotient

de la division de la seconde par la première (pr. 13) est un nombre entier (liv. i,déf. 9); donc chacun des nombres 7 et 12 divise le produit 35x48; or les fractions proposées étant irréductibles ,• 7 est premier avec 48, et 12 avec 35 (pr. 16); donc 7 divise 35, et 12 divise 48 (liv. 2, pr. 17), ou, autrement, 48 est un multiple de 12.

2° Réciproquement, lorsque le numérateur 7 d'une fraction divise le numérateur 35 Æune autre fraction ||, et que le dénominateur 48 de la première est un multiple du dénominateur 12 de la seconde, la première divise la seconde. Car le quotient