LIVRE III

de la division de la seconde fraction par la première , étant égal au produit de deux nombres entiers, est lui-même un nombre entier.

Corollaire 1. Lorsqu'une fraction irréductible ^ est un multiple d'une autre fraction irréductible le numérateur 35 de la première est un multiple du numérateur 7 de la seconde, et le dénominateur il de la première divise le dénominateur 48 de la seconde. Car ^ étant un multiple de la fraction celle-ci divise ^ (liv. i, pr. 10) ; donc 7 divise 35, et 48 est un multiple de 12 ; ou, autrement, 35 est un multiple de 7, et 12 un diviseur de 48.

Corollaire 2. Réciproquement , lorsque le numérateur 35 d'une fraction est un multiple du numérateur 7 d'une

autre fraction et que le dénominateur 12 de la première divise le dénominateur 48 de la seconde, la première fraction est un multiple de la seconde. Car, 35 étant un multiple de 7 et 12 un diviseur de 48, 7 est un diviseur de 35 et 48 un multiple de 12 ; donc divise || et , par suite , || est uu multiple de (liv.i, pr. 10).

PROPOSITION

Le plus grand commun diviseur de plusieurs fractions irréductibles, —, — , —, est éqal à une fraction

irréductible — qui a, pour numérateur, le plus grand commun diviseur 6 des numérateurs des fractions proposées, et, pour dénominateur, le plus petit commun multiple 385 de leurs dénominateurs.

Eu effet , pour qu’une fraction irréductible divise il faut et il suffit que son numérateur divise 60 et que son dénominateur soit un multiple de ^(pr.lO); pareillement, pour qu’une fraction irréductible divise il faut et il suffit

9fi AniTIMIKTIQCE.

que son numérateur divise ^ 1^8 et que son dénominateur soit un multiple de 5, et ainsi de suite ; donc, pour qu’une fraction irréductible divise chacune des fractions proposées , il faut et il suffit que son numérateur soit un commun diviseur des nombres 60, 48, 90, et que son dénominateur soit un commun multiple des nombres 7, 5, 11 ; or une fraction est d’autant plus grande que son numérateur est plus grand et que son dénominateur est plus petit, donc le plus grand commun diviseur des fractions proposées est la fraction ^ qui a, pour numérateur, le plus grand commun diviseur de leurs numérateui's et , pour dénominateur, le plus petit commun multiple de leurs dénominateurs.

PROPOSITION XXI

Le plus petit commun multiple de plusieurs fractions irréductibles — est égal à une fraction irré-

ductible — qui a, pour numérateur, le plus petit commun multiple 385 des numérateurs des fractions proposées et, pour dénominateur, le plus grand commun diviseur 6 de leurs dénominateurs.

En effet , pom* qu’une fraction irréductible soit un multiple de il faut et il suffit que son numérateur soit un multiple de 7 et que son dénominateur divise 60 (pr. 19, cor.l et 2 ); pareillement, pour qu’une fraction irréductible soit un multiple de —, il faut et il suffit que son numérateur soit un multiple de 5 et que son dénominateur divise 48 , et ainsi de suite ; donc pour qu’une fraction irréductible soit un commun multiple des fractions proposées, il faut et il suffit que son numérateur soit un commun multiple des nombres 7, 5, 11, et que son dénominateur soit un commun diviseur des nombres 6 (Hi 48, 90 ; or une fraction est d'autant moindre que son numérateur est plus petit et que son