LIVRE II

mettre une fraction décimale sous la forme d'un nombre décimal, il suffit d'écrire le numérateur et de séparer, sur sa droite, autant de chiffres décimaux qu’il y a de zéros au dénominateur.

Pour énoncer un nombre décimal écrit en chiflfres, on distingue deux cas, suivant que l’on veut confondre ou non , dans l’énoncé , la partie entière avec la partie décimale.

1" On énonce le nombre proposé , abstraction faite de là virgule , comme un nombre entier, en ajoutant à l’énoncé le nom des unités décimales qu’exprime le premier chiffre à droite. Ainsi le nombre 28,357 s’énonceça vingt-huit mille Irais cent cinquante- sept millièmes. Cela résulte de ce que 28 , 357 =^.

2“ On étionce successivement la partie entière et la partie décimale, comme des nombres entiers, en ajoutant à chaque énoncé le nom des unités qu’exprime le premier chiffre à droite de chaque partie. Ainsi le nombre 28,357 s’énoncera vingt-huit unités trois cent cinquante-sept millièmes. Cela résulte de ce que 28,357 =28+-^^.

Héciproqueme>t. Pour écrire en chiffres un nombre décimal énoncé, on distingue deux cas, suivant qu’on a confondu ou non , dans l’énoncé , la partie entière avec la partie décimale.

1° On écrit le nombre énoncé, comme un nombre entier, puis on place la virgule de manière que le premier chiffre à droite exprime des unités décimales de t ordre énoncé. Ainsi, le nombre énoncé vingt-trois mille huit cent cinquante-sept millièmes s'écrira 23,857 ; et le nombre énoncé trente-sept dix-millièmes s’écrira 0,0037, en remplaçant par des zéros les unités qui manquent.

2“ On écrit successivement la partie entière, la virgule, et la partie décimale comme un nombre entier, de manière que son premier chiffre à droite exprime des unités décimales de l'ordre énoncé. Ainsi le nombre énoncé vingt-huit unités trente-sept millièmes s’écrira 28,037.

14. Une quantité est une valeur d'une autre quantité, approchée à moins d’une troisième quantité, lorsque la différence des deux premières quantités est moindre que la troisième. .Ainsi, 367 est une valeur approchée de 369+ j, à moins de trois unités, parce que la différence 2 +i des deux premiers nombres est moindre que 3.

i'6. Une valeur d’une quantité est dite approchée par défaut ou par excès, suivant qu’elle est plus petite ou plus grande que cette quantité. Ainsi 3 est une valeur de 3,5 approchée par défaut ; k est une valeur de 3,5 approchée par excès.

Remarque 1. On voit qu’il existe une infinité de valeurs d’une quantité, approchées par défaut ou par excès à moin» d’une autre quantité ; mais lorsqu’on dit qu’une quantité est la valeur approchée d'une autre quantité, à moins d’une troisième quantité, on entend que la première quantité est égale au plus grand multiple de la troisième , contenu dans la seconde. Ainsi 360 est la valeur approchée de 369, à moins d’une dizaine; parce que 360 est le plus grand multiple de 10, contenu dans 369. On voit de même que 367 est la valeur approchée de 367,58 à moins d’une unité , et que 367,5 est la valeur approchée de 367,58 à moins d'un dixième.

En général, la valeur approchée d'un nombre décimal, à moins d'une unité décimale d’un ordre déterminé, est égale au résultat qu’on obtient en supprimant dans le nombre proposé toutes les décimales écrites à la droite du chiffre qui exprime des unités de H ordre indiqué. Ainsi la valeur du nombre décimal 3,567894, approchée à moins d’un millième , est 3,567.

Rem arque 2. Une quantité est la valeur approchée par excès d’une autre quantité à moins d’une troisième quantité, lorsque la première quantité est égale au plus petit multiple de la troisième, dans lequel soit contenue la seconde. .Ainsi 3,5 est la valeur approchée par excès de 3,41 à moins d’un dixième.

LIVHË III. -)04

PROPOSITION XXII

Pour mulUplier ou diviser un nombre décimal par une puissance de 10 , il suffit d’avancer la viryulc d’autant de rangs vers la droite ou vers la gauche gu il y a d’unités dans le degré de la puissaîice.

1° On a, par exemple, 3,456xl00=.‘î45,6.

En effet, le chiffre 6, qui exprimait des millièmes, exprime actuellement des dixièmes , ou des unités cent fois plus grandes; le chiffre 5, qui exprimait des centièmes, exprime actuellement des unités simples, ou des unités cent fois plus grandes , et ainsi de suite ; donc chacune des parties du nombre proposé a été rendue cent fois plus grande; donc ce nombre lui-méme est devenu cent fois plus grand.

2° On’ prouverait de même que pour diviser le nombre 386,7 par 100 , il suffit d’avancer la virgule dq deux rangs vers la gauche , ce qui donne le quotient 3,867*.

Remarque. La même règle est applicable au cas où le dividende serait un nombre entier. Ainsi on a ^=0,84.

ADDITION

PROPOSITION XXIII

Additionner des nombres décimaux 3 , 8 ; 37 , 67 ; 84 , 983 .

Pour réunir ces nombres en un seul , il suffit , comme pour l'addition des nombres entiers (liv. i,pr. 1) , de réunir séparément leurs unités de même ordre , ce qui conduit à les écrire les uns au-dessous des autres , de manière que les chiffres ijui expriment des unités d'un môme ordre soient situés sur la même ligne verticale.

^0i aihthmêtiqüe.

En raisonnant, comme pour l’addition des nombres entiers, on trouve que le résultat demandé est 126,453, et l’on est conduit à cette règle générale : pour additionner des nombres décimaux, on les dispose et on opère comme pour l'addition des nombres entiers, en plaçant la virgule au résultat sur la même ligne verticale que dans les nombres proposés.

Remarque. Cette règle est applicable au cas où quelquesuns des nombres proposés seraient des nombres entiers.

SOUSTRACTION

PROPOSITION XXIV

Trouver '.la différence de deux nombres décimaux 89 , 84 ; 24 , 987 .

Pour obtenir la différence de ces nombres, il suffit, comme pour la soustraction des nombres entiers (liv.l ,pr.2), de prendre séparément les différences de leurs unités de môme ordre , ce qui conduit à écrire le plus petit nombre sous le plus grand, de manière que les chiffres qui expriment des unités d'un môme ordre soient situés sur la môme ligne verticale.

En raisonnant, comme pour la soustraction des nombres entiers , on trouve que le résultat demandé est 64,853 , et l’on est conduit à cette règle générale ; pour trouver la dif-

LIVHE III.

férence de deux nombres décimaux, on les dispose et on opère comme pour la soustraction des nombres entiers , en plaçant la virgule au résultat sur la même ligne verticale que dans les nombres proposés.

Remakque. Cette règle est applicable au cas où l’un des nombres proposés serait un nombre entier.

MULTIPLICATION

PROPOSITION XXV

Effectuer le produit ■1,2x0,46 de plusieurs nombres décimaux.

En mettant chacun des nombres proposés sous la forme d’une fraction décimale , on a

l,2xO,46 = ^X

Or, 552 est le produit des nombres proposés , abstraction faite de la virgule, et le nombre des décimales du produit demandé est égal au nombre 3 des chiffres décimaux contenus dans les deux facteurs ; donc pour faire le produit de plusieurs nombres décimaux, il suffit d’opérer, comme sur des nombres entiers , en faisant abstraction de la virgule, et de séparer, sur la droite du résultat, autant de chiffres décimaux qu’il y en a dans tous les facteurs.

Remarque 1. La môme règle est applicable au cas où quelques-uns des facteurs seraient des nombres entiers.

Remarque 2. En général, pour multiplier une quantité a par un nombre décimal 4,3, il suffit de prendre pour multiplicateur le nombre décimal abstraction faite de la virgule , et de diviser le produit par l’unité suivie d’autant de zéros qu’il y a de chiffres décimaux dans le nombre proposé, f.ar on a ax4,3 = «x^ = (pr. 8, rem. 2) .

AiimniETiguE.

Remarqle 3. Tout nombre décimal pouvant être mis sous la forme d’une fraction décimale, les principes démontrés pour les fractions s’étendent aux nombres décimaux. Ainsi, un produit de plusieurs nombres décimaux ne change pas de valeur, lorsqu'on interverlit l'ordre des facteurs.

DIVISION

PROPOSITION XXVI

Diviser un nombre décimal 38,964 par un nombre entier 12 .

Diviser 38,96V par 12, c’est trouver un nombre égal à la douzième partie de 38,96V ; or pour diviser une somme par un nombre , il suffit de diviser chaque partie de la somme par ce nombre, donc il suffira de prendre séparément la douzième partie des unités , des dixièmes, des centièmes et des millièmes dont se compose 38,964.

En divisant 38 unités par 12, on trouve 3 unités au quotient et, pour reste, 2 unités ou 20 dixièmes, qui augmentés des 9 dixièmes du dividende font 29 dixièmes. En divisant 29 dixièmes par 12, on obtient 2 dixièmes au quotient et , pour reste , 5 dixièmes ou 50 centièmes , qui augmentés des 6 centièmes du dividende font 56 centièmes. En divisant 56 centièmes par 12, on obtient le chiffre 4 des centièmes du quotient et le reste 8 centièmes ou 80 millièmes, qui augmentés des 4 millièmes du dividende font 84 millièmes. Enfin, en divisant 84 millièmes par 12, on

L1VU£ III. 4ü5

obtient le chiffre 7 des millièmes du quotient et le reste zéro ; de sorte que le quotient demandé est 3,2i7.

En général , pour diviser un nombre décimal par un nombre entier ^ on divise d’abord la partie etitière du dividende par le diviseur , ce qui donne la partie entière du quotient ; on convertit le reste en dixièmes, auxquels on ajoute les dixièmes du dividende; on divise le nombre qui en résulte par le diviseur, ce qui donne le chiffre des dixièmes du quotient; on convertit le nouveau reste en centièmes auxquels on ajoute les centièmes du dividende ; on divise le nombre qui en résulte par le diviseur, ce qui donne le chiffre des centièmes du quotient, et ainsi de suite , jusqu’à ce qu’on ait obtenu un reste nul ou un ehiffre qui exprime des unités décimales dtun ordre indiqué ; dans ce dernier cas , on a la valeur du quotient à moins d'une unité décimale de cet ordre.

Remarque. Cette règle est applicable au cas où , le dividende étant un nombre entier, on se propose d’obtenir le quotient en décimales. Ainsi on trouve que le quotient de la division de 39 par 12 est 3,25.

PROPOSITION XXVII

Diviser une quantité par un nombre décimal 0,12.

Le nombre 0,12 étant égal à pour diviser une quantité par 0,12 il suffit de la multiplier par ^ (pr. 13), ce qui revient à la multiplier par 100 et à diviser le produit par 12 (pr. 8, rem.2). Ainsi on a, par exemple.

3,247 (pr. 26).

En général, pour diviser une quantité par un nombre décimal, on prend pour diviseur le diviseur proposé , abstraction faite de la virgule, et pour dividende, la quantité qu'on obtient en multipliant le dividende proposé par l'unité suivie d'autant de zéros qu’il y avait de décimales au diviseur.

AKITMMETIQUE.