RÉDUCTION DES FRACTIONS EN DÉCIMALES

DÉFINITIONS

16. Réduire une fraction en décimales, c’est mettre cette fraction sous la forme d’un nombre décimal.

17. Un nombre décimal est^énodig'Me, lorsqu’un ou plusieurs de ses chiffres décimaux se reproduisent dans le même ordre et indéfiniment. Tel est le nombre 3,4676767...

18. Le nombre 67, formé par les chiffres 6 et 7 qui se reproduisent dans le même ordre et indéfiniment , est la période du nombre décimal.

ly. Un nombre décimal est périodique simple ou périodique mixte, suivant que la période commence ou non au chiffre des dixièmes; ainsi, le nombre 3,687687. . . est périodique simple, et le nombre0,642828... est périodique mixte.

20. Une quantité constante est limite d’une quantité variable , lorsque la différence de ces quantités peut devenir aussi petite qu’on voudra sans être nulle. Ainsi l’unité est limite du nombre décimal périodique 0,999. . . ; car on peut prendre assez de chiffres 9 pour que l’excès de l unilé sur le nombre qui en résulte soit moindre qu’une partie aliquote de l’unité , aussi petite qu’on voudra. On voit de même que 38et4,63sont les limites des nombres 37,999... et 4,62999...

Remarque. Une quantité variable 0,999... ne peut avoir plus dCune limite’, ou, autrement, deux quantités variables, dont les valeurs sont constamment égales entre elles , ont la même limite. Car en prenant deux nombres quelconques , ^et|||, l’un plus petit et l’autre plus grand que l’unité, on peut donner au nombre variable 0,999. . . une valeui’ qui dill'ère assez peu de l’unité pour qu’elle soit plus grande que ïH; de plus, toute valeur de 0,999. . . étant moindre que l’unité, diffère de d’une quantité plus grande que donc aucun nombre , plus petit ou plus grand que l’unité, n’est une limite de 0,990. . .

LIVUR 111.

PROPOSITION XXVIII

Réduire une fraction y en décimales.

Cette fraction pouvant ôtre considérée comme le quotient de la division de 37 par 8 (pr. 1), si l’on effectue cette division en observant la règle indiquée pour diviser un nombre décimal par un nombre entier (pr. 26, rem.), on trouvera

En général , pour réduire une fraction en décimales, il suffit de diviser son numérateur par son dénominateur, en opérant comme dans la division d’un nombre décimal par un nombre entier.

PROPOSITION XXIX

Lorsque le dénominateur d'une fraction irréductible ne contient que les facteurs premiers 2 et b , la réduction de cette fraction en décimales conduit à un quotient exact, dans lequel le nombre des chiffres décimaux est égal au plus grand des exposants des facteurs 2 et 5 au dénominateur.

Soit la fraction irréductible

kQ ¥ x 5

dont le dénominaleur 40 contient trois fois le facteur 2 et une fois le facteur 5. Il s’agit de prouver qu’en la réduisant

AUnilMETlQUE.

en décimales, on obtiendra un quotient exact qui contiendra trois chiffres décimaux.

La fraction proposée étant irréductible, son numérateur C9 ne contient pas le facteur premier 2 qui a le plus grand exposant au dénominateur (pr. 16) ; mais, après avoir obtenu la partie entière du quotient de la division de 69 par 40 , on convertit le reste en dixièmes en écrivant un zéro à sa droite (pr.28),ce qui revient à multiplier le dividende 69 par 10 ou par 2x5; en convertissant le second reste en centièmes, on multiplie de même le dividende par 2x5; enfin, en convertissant le troisième reste en millièmes, on multiplie encore le dividende par 2x5; de sorte qu’en définitive, pour obtenir trois chiffres décimaux au quotient , on introduit au dividende trois fois le facteur 2 et trois fois le facteur 5 ; donc alors le dividende, contenant tous les facteurs premiers du diviseur 40, est divisible par 40, et le quotient se termine au troisième chiffre décimal.

PROPOSITION XXX

Toute fraction irréductible, dont le dénominateur contient u?i ou plusieurs facteurs premiers autres que 2 et 5 , ne peut pas se réduire exactement en décimales, et la division de son numérateur par son dénominateur conduit à tin quotient périodique.

Soit la fraction irréductible ff dont le dénominateur 28 contient le facteur premier 7.

1® Cette fraction étant irréductible, son numérateur 39 ne contient pas le facteur premier 7 du dénominateur (pr. 16); de plus, en écrivant un zéro à la droite de chacun des restes successifs auxquels conduit la réduction de || en décimales, on ne fait qu’introduire au numérateur les facteurs 2 et 5 ;