LIVRE III

donc aucun des dividendes 39, 390, 3900, etc., ne sera divisible par 28; donc le quotient ne se terminera pas.

2” Ce quotient sera périodique. Car en divisant par 28 les dividendes successifs 39, 390, 3900, etc., on ne peut obtenir plus de restes différents qu’il y a d’unités dans le diviseur moins un, c’est-à-dire plus de 27 restes différents ; donc , après avoir effectué au plus 28 divisions ou obtenu 27 décimales au quotient, on est retombé sur un des restes précédents ; écrivant un zéro à la droite de ce reste , on aura un dividende partiel déjà obtenu, et comme le diviseur 28 est invariable, on aura au quotient un chiffre décimal précédemment obtenu et à partir duquel un ou plusieurs chiffres se reproduiront dans le même ordre et indéfiniment; donc le quotient sera périodique (déf. 17).

Remarque 1. Toute fraction est la limite (déf. 20) du quotient périodique 0,31818... auquel conduit la division de son numérateur par son dénominateur . Car on peut prendre assez de chiffres décimaux au quotient, pour qu’il diffère de cette fraction aussi peu qu’on voudra.

Remarque 2. Lorsqu’on multiplie ou qu'on divise par une puissance 10* de 10 une fraction ||, dont la réduction en décimales conduit à un quotient périodique 4,3181818... , la fraction qui en résulte, conduit au quotient

périodique 431,8181... ou 0,0431818... qu'on déduit du premier en avançant la virgule d'autant de rangs vers la droite ou vers la gauche, qu’il y a d’unités dans le degré de la puissance. Car, en supposant, par exemple, qu’après avoir trouvé deux décimales au quotient primitif, on ait obtenu le reste 18<22, on aura H = 4,31+-!^ et, par suite,

= 431 - 1 -^ : cette égalité montre, qu’en réduisant la fraction en décimales, on obtiendra le quotient 431 et le reste 18 qui exprimera des unités; mais en réduisant H en décimales on a obtenu le quotient 4,31 et 1e reste 18 qui exprimait des centièmes ; donc , en prolongeant les divisions , chacun des chiffres suivants sera le même pour les deux quotients, qui ne différeront l’un de l’autre que par la

^ ^ 0 AIUTUMÉTIQÜE. '

position de la virgule. On voit de inOme que la n';duction de ïïlo' décimales conduit au quotient 0,0431818...

PROPOSITION XXXI

Lorsque le dénominateur d’une fraction irréductible ^ ne contient aucun des facteurs 2 et 5, la réduction de cette fraction en décimales conduit à un quotient périodique simple.

La fraction ^ étant irréductible, et son dénominateur 21 contenant d’autres facteurs premiers que 2 et 5 , la réduction de cette fraction en décimales conduit à un quotient périodique (pr. 30); donc il suffit de démontrer que la période commence au chiffre des dixièmes.

La division de 415 par 21 donne la partie entière 19 du quotient et le reste 16; multipliant 16 par 10 et divisant le produit 160 par 21 , on trouve le chiffre 7 des dixièmes du quotient et le reste 13; divisant 130 par 21, on a le chiffre 6 des centièmes du quotient et le reste 4 ; et ainsi de suite, d'où l’on conclut

Un des restes 16, 13, 4... , devant se reproduire après 20 divisions au plus, supposons que axlO soit le premier des dividendes suivants , qui , divisé par 21 , donne le reste 4 précédemment obtenu , a étant le reste qui précède immédiatement ce dividende : puisque 130 et a x 10 divisés par 21 donnent le même reste 4, leur différence (13 — a) x 10 est

LivnE m.

un multiple de 21 (liv. i, pr.21, cor.2) ; mais 21 est premier avec 10, donc il divise 13 — «, ce qui exige que a = 13, car on a 13 <21, a <21 et, à plus forte raison, 13— a <21 ; donc 1e reste 13 a été reproduit avant le reste 4; on prouverait de mémo que le reste 16 a été reproduit avant le reste 13; donc le reste 16 de la première division se reproduit le premier; et, par conséquent, la période commence au chiffre? des dixièmes.

Corollaire. En supposant que axlO soit le premier des dividendes qui , divisés par 21 , reproduisent le premier reste 16, et que c désigne le dernier chiffre de la période, on a ax 10 = c X 21 + 16; mais 415 = 19 x 21 + 16 , donc 415 — O X 10 = (19 — c) X 21 ; égalité qui montre que, lorsque le numérateur 415 â'une fraction dont lu réduc-

tion en décimales conduit à un quotient périodique simple, n'est pas divisilile par 10, le dernier chiffre C de la période n'est pas égal au chiffre 9 des unités simples.

Hemarqle. Puisqu’après avoir effectué 21 divisions au plus , on est retombé sur un des restes déjà obtenus , et à partir duquel le premier chiffre décimal se reproduit au quotient , le nombre des chiffres de la période est au plus égal à 20 ; et, en général , il ne peut excéder le dénominateur moins un de la fraction proposée.

PROPOSITION XXXII

Lorsque le dénominateur d'une fraction irréductible contient un ou plusieurs des facteurs 2 et 6, avec (F autres facteurs premiers, la réduction de cette fraction en décimales conduit à un quotient périodique mixte, dans lequel le nombre des chiffres décimaux non périodiques est éfial au plus grand des exposants des facteurs 2 et 5 au dénominateur.

^^2 AKlTHMÉTigUE.

Soit la fraction irréductible

dont le dénominateur 84 contient le facteur 2 à la seconde puissance et les facteurs 3 et 7. Il s’agit de prouver que la réduction de cette fraction en décimales conduit à un quotient périodique mixte qui contient 2 chiffres décimaux non périodiques.

Multipliant || par 100 ou par 2*x5*, on a

Or la fraction est irréductible ; son dénominateur 21 ne contient aucun des facteurs 2 et 5 , et son numérateur 85x5* n’est pas divisible par 10, puisque 85 et 5* sont premiers avec 2 ; donc la réduction de cette fraction en décimales conduit à un quotient périodique simple ( pr. 31 ) , dans lequel le dernier chiffre de la période n’est pas égal à celui des unités simples (pr. 31, cor.); et, pour déduire de ce nombre décimal celui qui est engendré par la fraction cent fois plus petite que il sufOt d’avancer la virgule de deux rangs vers la gauche (pr. 30, rem. 2), ce qui donne un nombre décimal périodique mixte qui contient deux chiffres décimaux non périodiques.

Remarque. Le nombre décimal périodique mixte ayant la même période que le nombre décimal périodique simple engendré par la fraction on voit que le nombre des chiffres de la période ne peut excéder (3x7—1) ou 20 (pr.31, rem.), et , en général , le nombre des unités moins une, contenues dans le produit des facteurs autres que 2 et 5 , qui entrent au dénominateur de la fraction proposée.