UVRE III

PROPOSITTOÎH XXXIll.

Tout nombre décimal 0,368368... périodirjne simple, moindre (pie Vunilé et dont la période nest pas le chiffre 9, a pour yénératrice une fraction —, dont le numérateur est égal à la période et dont le dénomi-

nateur est formé d’autant de 9 qu’il y a de chiffres dans la période.

- On a 368000 = 368x (999 + 1) = 368 x 999 + 368, ce qui montre qu’en divisant 368000 par 999, on obtiendra le quotient 368 et le reste 368<999 ; ou, autrement , que si l’on réduit la fraction en décimales , après avoir obtenu les trois chiffres décimaux 3, 6, 8 au quotient , ou trouvera un reste 368 égal au numérateur de la fraction ; donc les chiffres 3, 6, 8 se reproduiront dans le môme ordre et indéfiniment, et on aura pour quotient le nombre décimal périodique simple 0,368368...

Corollaire 1. Tout nombre décimal 5,368368... périodique simple, plus grand que l'unité et dont la période nest pas le chiffre provient de la réduction d’une fraction en décimales. Car la fraction ^ étant la génératrice de 0,368368..., si l’on réduit le nombre (5+ffj) en décimales, on obtiendra le quotient 5,368368...

Corollaire 2. Tout nombre décimal 5, !iT3683G8... périodique mixte, et dont la période n’est pas le chiffre 9, provient de la réduction d’une fraction en décitmdes. Car, en plaçant la virgule à la gauche de la première période, le nombre décimal 5i7, 368368... , qui en résulte, provient de la réduction d’une fraction en décimales (cor.l), et cette fraction , divisée par 100 , donne une autre fraction dont la réduction en décimales conduit au quotient 5,47368368.. (pr. 30, rem. 2).

Uemarque. Lorsque la période d’un nombre décimal est le chiffre 9, on obtient immédiatement sa limite en suppri-

maiil toutes les périodes et en augmentant d’une unité le premier chiffre à droite du nombre qui en résulte (déf. 20) ; donc un nombre décimal, dont lu période est le chiffre 9, na point de fraction génératrice (déf. 20, rem. etpr. 30, rem. 1).

PR'OPOSITION XXXIV

Pour obtenir la fraction génératrice (Hun nombre décimal 5 , 368368 ... périodique simple et plus grand (pu; l’unité, il suffit de prendre, pour numérateur, la partie entière suivie de la période, moins la partie entière, et, pour dénominateur, un nombre formé d'autant de 9 cpi’il y a de chiffres dans la période.

En effet, quelle que soit la fraction génératrice du nombre décimal 5,308368... ( pr. 33, cor. 1), une fraction 1000 fois plus grande engendrera le quotient 5308,368368... (pr.30, rem. 2); mais la première de ces deux fractions vaut 5+f^ (pr.33, cor. 1), et la seconde vaut 5368+ff5 ; donc la différence (5368—5) vaut lOüO fois moins 1 fois ou 999 fois la fraction demandée; donc cette fraction est ce qu’il fallait démontrer.

PROPOSITION XXXV

Pour obtenir la fraction génératrice d’un nombre décimal 5 , 47368368 ... périodique mixte , il suffit de prendre, pour numérateur, la partie entière suivie de la partie décimale non périodique et de la première période , moins la partie entière suiine de la partie décimale non périodique , et, pour dénominateur, un nombre formé d’autant de 9 qu’il y a de chiffres dans la période et suivi d’autant de zéros qu’il y a de chiffres dans la partie décimale non périodique.