LIVRE III

PROBLÈME IV

On a deux lingots d'or, l'un au titre de 0,3 et l'autre au titre de 0 , 7 ; trouver combien il faut prendre de grammes de chaque lingot pour en composer un alliage de 80 grammes au titre de 0 , 45 .

Les 80 grammes d’alliage contiendront (808x0,45) ou 368 d’or pur. Si ces 80* étaient au titre de 0,3, ils contiendraient (80«x0,3) ou 24s d’or pur, c’est-à-dire (368— 24s) ou 128 d’or de moins que l’alliage demandé ; il liiut donc remplacer un certain nombre de grammes au titre de 0,3 par un même nombre de grammes au titre de 0,7, de sorte que le poids de l’or contenu dans l’alliage augmente de 12«; or lorsqu’on remplace au titre de 0,3 par au titre de 0,7, le poids de l’or pur contenu dans l’alliage augmente de (08,7—08,3) ou de 0 p, 4; donc il faudra faire cette substitution autant de fois que 08,4 sont contenus dans 12«, c’est-à-dire 30 fois ; donc il faut prendre 30« d’or au titre de 0,7 et , par suite, (80«— 30®) ou 50« au titre de 0,3 pour composer l’alliage demandé.

PROBLÈ.ME V.

Rapporter la quantité 8 ' 3 *“ 6 ' à l’une de ses unités.

Proposons-nous de trouver le rapport de 8 j 3'' 6' au jour, par exemple. Puisqu’un Jour vaut24'‘, 8^ valent (24'> x8) ou 192‘>, et 8J-l-3'‘=:192» + 3i>=195'‘; or 1» = 60', donc 1 95" = 60' X 195 = 11700'; donc 8i -t-3" +6'= 11700' + 6' = 11706'. Mais 1^ =24" = 60' X 24 = 1 440', donc le rapport de 8' 3" 6' à li est ou ^ (déf.27, rem. 2).

llEMARQUE. On trouverait de même que le rapport de 8J 3" 6' à l’heure est ou

PROBLÈME VI

Trouver le rapport de 2^ 3“ 5' à

Le nombre de minutes contenues dans 2i 3‘‘5' est 3065 (pr.5). On trouve de même que le nombre de minutes contenues dans 6'* 7' est 6127 ; donc le rapport de 2^3*’ 5' à 4J6'>7' est égal à (déf.27,rem. 2).

PROBLÈME VII

Faire la somme des quantités 3^ 1 T** 5V; 4' 23** 36'; 5118“ 45'.

Pour réunir ces quantités en une seule, il suffit de réunir séparément les minutes, les heures et les jours qui les composent , ce qui conduit à les écrire les unes au-dessous des auti’es, de manière que leurs unités de môme grandeur soient sur une môme ligne verticale :

En faisant la somme des minutes, on trouve 138' ou 18' qu’on écrit sous les 45' du dernier nombre , et 120' ou 2» qu’on reporte à la somme des heures, ce qui donne 60» ou 12» qu’on écrit sous la colonne des heures et 48» ou 2i qu’on reporte .4 la somme des jours, ce qui donne 141 qu’on écrit sous les 51 du dernier nombre. Le résultat demandé est 141 12» 18'.

PROBLÈME VIII

Trouver la différence des deux quantités 8119'' 37 54''; 21 23» 4.5' 38".

r.ivRE m.

Pour obtenir la différence de ces quantités , il suffit de prendre séparément la différence des secondes , celle des minutes , celle des heures et celle des jours dont elles se composent ; ce qui conduit à écrire la plus petite quantité sous la plus grande , de manière que leurs unités de même grandeur soient situées sur la même ligne verticale :

Cela étant, on dira 38" ôtées de 54", il reste 16"; 5' ôtées de 7', il reste 2'; ôter 4 dizaines de minutes de 3 dizaines de minutes, cela est impossible; alors on augmente les

3 dizaines de minute d’une heure ou de 6 dizaines de minutes, ce qui donne 9 dizaines de minutes, et l’on dit

4 dizaines ôtées de 9 dizaines , il reste 5 dizaines : pour ne pas altérer la différence, on augmente d’une heure la quantité à soustraire, et on dit 24» de 19», cela est impossible ; alors on augmente 19» de 24» ou d'uii jour, ce qui donne 43», et on dit 24» de 43», il reste 19»: pour ne pas altérer la différence, on augmente d’un jour la quantité à soustraire, et on dit 3i de 8i, il reste 5i. Le résultat demandé est 51 19» 52' 16".

PROBLÈME IX

Multiplier la quantité 4' O** 1 T par le nombre entier 12.

l.a quantité 4J 9» 17' étant une somme composée de 4i , de 9» et de 17', poui' la multiplier par 12, il suffit de multiplier par 12 chacune de scs parties; de sorte qu’on dira

12 fois 17' donnent 204.' ou 24' et 3'‘ qu’on reporte au produit suivant; 12 fois donnent 108>> qui , augmentées de 3'’, font 111'' ou IS** et 4' qu’on reporte au produit suivant ; 12 fois 4 j font 48* qui , augmentés de 4J donnent 52J . Le produit demandé est 52 j 15*' 24'.

^ PROBLÈME X

Diviser la quantité 52^ 15** 24' par 12.

Diviser la quantité 52i 15" 24' par 12 , c’est trouver la douzième partie de cette quantité; or, pour diviser une somme par un nombre entier, il suflit de diviser chaque partie de cette somme par ce nombre , donc il sufOra de prendre séparément la douzième partie des jours, des heures et des minutes dont se compose le dividende-

La douzième partie de 52' est 4' pour 48* , et il reste 4' ou 96" qui, augmentées des 15" du dividende, donnent 111"; la douzième partie de 1 1 1" est 9" pour 108'' , et il reste 3" ou 180' qui, augmentées des 24' du dividende , donnent 204' ; la douzième partie de 204' est exactement 17' : de sorte que le quotient demandé est 4' 9" 17'.

Remarque. Pour mettre une fraction concrète sous la forme d’une quantité complexe, il suflit de diviser son numérateur par son dénominateur, en opérant comme dans la division d'une quantité complexe par un nombre entier. Ainsi on trouve, par exemple,