LIVRE IV

le cube de 86il', si l’on ajoute ce reste au cube de la racine, on reproduira le nombre proposé.

PROPOSITION XVII

Le reste 24, qu’on obtient en extrayant la racine carrée 12 d’un nombre 168, o moins d’une unité, ne 'peut excéder le double de cette racine.

En effet , 12 étant la racine carrée du plus grand carré entier contenu dans 168 , ce nombre est compris entre les carrés des nombres entiers consécutifs 12 et 13; donc (168—12*) ou 24 (pr. 15,rem.) est moindre que (13*— 12*) ou que 12x2 + 1 (pr.6, cor, 2) ; donc le reste 24 ne peut excéder 12x2.

Corollaire. Pour faire la preuve de l’extraction de la racine carrée d’un nombre entier 168 à moins d’une unité, on vérifie si le reste 24 n’excède pas le double de la racine obtenue, et si ce reste, ajouté au carré de la racine, reproduit le nombre proposé (pr.l5, rem.)

PROPOSITION XVIII

Le reste 204, qu’on obtient en extrayant la racine cubique 1 2 Æun nombre entier 1 932 , à moins d’une unité, ne peut excéder le triple carré de la racine, plus le triple de cette racine.

En effet , 12 étant la racine cubique du plus grand cube entier contenu dans 1932, ce nombre est compris entre les cubes des nombres entiers consécutifs 12 et 13; donc (1932—12*) ou 204 (pr. 16, rem.) est moindre que (13*— 12*) ou que 12*x3+ 12x3 + 1 (pr.7,cor.2) ; donc le reste 204 ne peut excéder 12* x 3+ 12x3.

■I G2 arithmétique.

CoRoM-AiRE. Pour faire la preuve de l’extraction de la racine cubique d’un nombre entier 1932 , à moins d’une unité, on vérifie si le reste 20lii n’excède pas le triple carré de fa racine obtenue, plus le triple de cette racine , et si ce reste , ajouté au cube de la racine , reproduit le nombre proposé (pr. 16, rem.).

PROPOSITION XIX

Faire la preuve par 9 de F extraction de la racine carrée d'un nombre entier, à moins d’une unité.

1“ Lorsque l’extraction de la racine carrée d’un nombre çnlier, à moins d’une unité, conduit à un reste nul , on applique à ce nombre, considéré comme le carré de la racine obtenue , la preuve par 9 de l’élévation d’un nombre entier au carré (pr. 10).

2" Lorsqu’on est conduit à un reste qui n’excède pas le double de la racine (pr.l7), on regarde le nombre dont on extrait la racine comme la somme du carré de cette racine et du reste, puis on applique à cette somme la prouve par 9 de l’addition (liv.2, pr.6) en déterminant le reste de la division par 9 du carré de la racine sans élever cette racine au carré (pr.lO).

Remarque. La preuve par 11 de l’extraction de la racine carrée d’un nombre entier à moins d’une unité, et les preuves par 9 ou par 11 de l’extraction de la racine cubique et, en général, de la racine m^™e d’un nombre entier, à moins d’une unité, s’effectuent et se démontrent de la môme manière.

PROPOSITION XX

Extraire la racine carrée dîin nombre décimal 0,005184.