LIVRE IV

Le carré d’un nombre entier étant un nombre entier et le cairé d’une fraction non réductible en décimales étant égal à une fraction non réductible en décimales (pr. k, cor.), on peut supposer que la racine carrée du nombre proposé est un nombre décimal ; de plus, cette racine contient deux fois moins de chiffres décimaux que 0,005184, et son carré abstraction faite de la virgule est égal à 5184 (pr.2) ; donc en extrayant la racine carrée 72 de 5184 et en séparant deux chiffres décimaux sur la droite de 72 , on aura la racine demandée 0,72.

En général , pour extraire la racine carrée dun nombre décimal, on extrait la racine carrée de ce nombre abstraction faite de la virgtde, puis on sépare sur la droite de la racine ainsi obtenue deux fois moins de chiffres décimaux qu'il y en a dans le nombre proposé.

Remakqoe. On prouverait de môme que pour extraire la racine cubique et, en général, la racine d'un nombre décimal , il suffit d'extraire la racine cubique ou la racine de ce nombre, abstraction faite de la virgule , puis de séparer sur la droite de lu racine obtenue trois fois ou m fois moins de chiffres décimaux qu'il y en a dans le nombre proposé.

PROPOSITION XXI

Pour extraire la racine carrée d’une fraction dont les deux termes sont des carrés, il suffit d’extraire la racine carrée de chacun de ses termes.

Il s’agit de prouver que la fraction | , qu’on obtient en extrayant les racines carrées des termes 16 et 49, est égale à la racine carrée de Or, pour élever une fraction | au

-t(i4 AHITHMÉTIQUE.

carré, il suffit d’élever ses deux termes au carré (pr. 3); donc on a

REMARguE. On prouverait de même que pour extraire la racine cubique et, en général , la racine dune fraction dont les deux termes sont des cubes ou des m^‘ puissances, il suffit d’extraire la racine cubique ou la racine de chacun de ses termes.

Corollaire. Lorsque les deux termes d une fraction sont des carrés, des cubes ou des m^”^‘ puissances , cette fraction est un carré, un cube ou une m^ puissance.

PROPOSITION XXII

La racine carrée d’un produit 3*X (1,8)* x(y)* de plusieurs carrés est égale au produit 3x1,8xy des racines carrées de ses facteurs.

En effet, le carré d’un produit étant égal au produit des carrés de ses facteurs (pr.8), on a

(3xl,8xi)* = 3*x(l,8)»x(i)*;

donc 3 X 1,8 X 7 est égal à la racine carrée du produit proposé (déf. 1 ).

Remarque. On prouverait de même que la racine cubique d’un produit de plusieurs cubes est égale au produit des racines cubiques de ses facteurs et que, en général, la racine ffième g’ufi produit de plusieurs m^”^‘ puissances est égale au produit des racines 7 / 1 ^"“* de ses facteurs.

Corollaire Lorsque les exposants des facteurs d’un produit sont tous des nombres pairs , des multiples de Z ou, en général, des multiples de m, ce produit est un carré, un