LIVRE IV

cube ou une puissance. Car on obtient immédiatement un produit égal à la racine carrée , à la racine cubique ou à la racine m^“® du nombre proposé , en divisant l’exposant de chaque facteur par 2, par 3 ou par m (pr. 8, rem. 3).

PROPOSITION XXIII

Pour extraire la racine carrée d’un nombre 48,9, décimal ou fractionnaire, à moins d'une unité, il suffit d’extraire la racine carrée 6 de la partie entière de ce nombre, à moins d’une unité.

En effet, 6 étant la racine carrée de 48, à moins d’une unité , le carré de 6 est contenu dans 48 et , à plus forte raison , dans 48,9, tandis que le carré de 7 excède 48 au moins d’une unité et, par suite , excède 48,9; donc 6 est le plus grand nombre entier'dont le carré soit contenu dans 48,9 ou, autrement, 6 est égal à la racine carrée de 48,9, à moins d’une unité (déf. 6).

Reuarque. On prouverait de même que pour extraire la racine cubique ou , en général , la racine d'un nombre décimal ou fractionnaire, à moins d’une unité, il suffit d extraire la racine cubique ou la racine m^ de la partie entière de ce nombre, à moins d’une unité.

PROPOSITION XXIV

Extraire la racine carrée d’un nombre, à moins d’un nombre entier, décimal ou fractionnaire.

Soit proposé, par exemple, d’extraire la racine carrée de 8,6 à moins d’un centième. En désignant par 0,01 xa; la racine demandée (déf. 6), le carré de 0,01 Xx sera contenu

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dans 8,6, tandis que le carré de 0,01 x (a;+l) excédera 8,6 ; donc on aura

(0,01)“xa:»= ou <8,6<(0,0ipx(x + l)»

et , par suite, x» = ou <-îq <(«+!)*;

donc le nombre entier x est égal à la racine carrée 293 du quotient 86000 à moins d’une unité (déf. 6) ; donc la racine demandée est 0,01 x 293 ou 2,93.

Il en résulte cette règle générale : pour extraire la racine carrée d’un nombre à moins d'un nombre entier, décimal ou fractionnaire , on divise le premier par le carré du second; on extrait la racine carrée du quotient à moins d’une unité (pr. 15 ou 23), et on multiplie par cette racine le second des deux nombres proposés.

Corollaire. Lorsqu’après avoir extrait la racine carrée d’un nombre entier à moins d’une unité (pr. 15), on se propose d’obtenir la racine carrée de ce même nombre à moins d’un dixième, il suffit d’écrire, à la droite du dernier reste, deux zéros que l’on considère comme une nouvelle tranche de deux chiffres contenue dans le nombre proposé, puis de calculer un chiffre de plus à la racine ; ce chiffre exprimera les dixièmes de la racine demandée : en écrivant deux zéros à la droite du nouveau reste, on obtiendra de même le chiffre des centièmes, et ainsi de suite.

PROPOSITION XXV

Extraire la racine cubique d'un nombre à moins d'un nombre entier, décimal ou fractionnaire.

Soit proposé, par exemple, d’extraire la racine cubique de 9,8 à moins d’un dixième. En désignant par 0,1 x a; la racine demandée (déf. 7), le cube de 0,1 x a; sera contenu dans 9,8, tandis que le cube de 0,1 x (a; +1) excédera 9,8; donc on aura