LIVRE V

8. Dans une proportion 6;3::i:2, on nomme premifr antécédent, l’antécédent 6 du premier rapport; second antécédent, l’antécédent k du second rapport ; premier conséquent , le conséquent 3 du premier rapport ; deuxième conséquent, le conséquent 2 du second rapport.

Le premier terme 6 et le quatrième terme 2 sont les extrêmes; le second terme 3 et le troisième terme 4 sont les moyens.

9. Quatre quantités 6, 3, 4, 2 sont proportionnelles ou en proportion, lorsque le rapport 6:3 de la première à la seconde est égal au rapport 4 :2 de la troisième à la quatrième. On dit aussi , dans le môme cas, que les deux premières quantités sont en raison directe des deux autres.

10. Une quantité est quatrième proportionnelle à trois autres quantités , lorsqu’elle est égale au quatrième terme d’une proportion dont ces quantités sont les trois premiers termes. La quatrième proportionnelle à trois quantité^ prend le nom de quatrième arithmétique ou de quatrième géométrique, suivant qu’il s’agit d’une proportion arithmétique ou géométrique. Ainsi 3 est une quatrième arithmétique aux nombres 9, 7, 5; 2 est une quatrième géométrique aux nombres 6,3,4.

11. Quatre quantités 6, 3, 2, 4 sont inversement proportionnelles, lorsque le rapport 6 : 3 de la première à la seconde est égal au rapport 4 : 2 de la quatrième à la troisième, ou , autrement , lorsque le rapport de la seconde à la première est égal au rapport de la troisième à la quatrième. On dit aussi , dans le même cas, que les deux premières quantités sont en raison inverse des deux autres.

12. Une proportion est continue, lorsque les deux moyens sont égaux. Telles sont les proportions 9*.7:7.5, 9:6:: 6: qu’on écrit aussi t9.7.5 , H 9 : 6 : 4.

1 5. Une quantité est moyenne proportionnelle entre deux autres quantités, lorsqu'elle est égale au tenue moyen d’une proportion continue , dont ces deux quantités sont les extrêmes. La moyenne proportionnelle entre deux quantités

prend le nom de moyenne arithmétique ou de moyenne géométrique, suivant que la proportion dont il s’agit est ,-r-^ arithmétique ou géométrique. Ainsi 7 est une moyenne arithmétique entre 9 et 5; 6 est une moyenne géométrique entre 9 et h.

14. Une quantité est troisième proportionnelle à deux autres quantités , lorsqu’elle est égale au troisième terme d’une proportion continue, dont ces quantités sont les deux premiers termes. La troisième proportionnelle à deux quantités prend le nom de troisième arithmétique ou de troisième géométrique, suivant qu’il s’agit d’une proportion arithmétique ou géométrique.

Remarque. Il résulte des définitions 1, 2, 3, 4 et des axiomes 1 et 2 que :

1° Lorsque les conséquents d’une proportion sont égaux , les antécédents sont aussi égaux entre eux; et réciproquement.

2° Lorsque deux proportions ont un rapport égal, les deux autres rapports sont aussi égaux entre eux.

PROPOSITION V

On n’alth'c pas une proportion arithmétique , 1® lorsqu'on augmente ou quon diminue un extrême el un moyen d’une même quantité; 2® lorsqu’on multiplie ou qu on divise tous ses termes par un même nombre.

1° Trois cas peuvent se présenter, suivant que l’extrême et le moyen sur lesquels on opère sont les deux termes d’un môme rapport, les deux antécédents ou les deux conséquents.

’ Lorsqu’on augmente ou qu’on diminue tes deux termes d’un rapport d’une môme quantité, ce rapport ne change pas (déf. 3, rem. 1, 4®) ; donc on n’altère pas la proportion.

Lorsqu’on augmente ou qu’on diminue chaque antécédent d’une môme quantité, chacun des rapports augmente