LIVRE V

OU diminue de celte quantité (déf.3,reni. 1, 2°); donc les deux rapports sont encore égaux , et on n’a pas altéré la proportion.

Loi'squ’on augmente ou qu’on diminue chaque conséquent d’une même quantité , chacun des rapports diminue ou augmente de cette quantité (déf. 3,rem.l, 3°); donc les deux rapports sont encore égaux , et on n’a pas altéré la proportion.

2° En multipliant ou divisant tous les termes par un même nombre , on a multiplié ou divisé chacun des rapports par ce nombre (déf. 3, rem. t, 5") ; donc les rapports sont encore égaux, et on n’a pas altéré la proportion.

PROPOSITION VI

On n’altère pas une proportion géométrique , lorsqu’on multiplie ou qu’on divise un extrême et un moyen

par un même nombre.

Trois cas peuvent se présenter, suivant que l’extrême et le moyen sur lesquels on opère sont les deux termes d’un même rapport, les deux antécédents ou les deux conséquents.

1° Lorsqu’on multiplie ou qu’on divise les deux termes d’un rapport par un même nombre , le rapport ne change pas (déf. 3, rem. 2, 3°); donc on n’a pas altéré la proportion.

2° Lorsqu’on multiplie ou qu’on divise les antécédents par un même nombre, chacun des rapports est multiplié ou divisé par ce nombre (déf. 3,rem. 2, 1“) ; donc les deux rapports sont encore égaux, et on n’a pas altéré la proportion.

3" Lorsqu’on multiplie ou qu’on divise les conséquents par un même nombre , chacun des rapports est divisé ou multiplié par ce nombre (déf. 3 , rem. 2, 2“) ; donc les deux rapports sont encore égaux , et on n’a pas altéré la proportion.

AltITHMETIUUE.

PROPOSITION VII

Dans toute proportion arithmétique 9. 5: 7. 3, la somme des extrêmes est égale à celle des moyens ; et réciproquement, quatre nombres 9, 5, 7, 3 sont en proportion arithmétique , lorsque la somme du premier et du quatrième est égale à celle du second et du troisième.

1“ En ajoutant aux deux termes de chaque rapport le conséquent de l’autre , on a (pr. 5) la nouvelle proportion

dans laquelle les conséquents 5+3 et 3+5 sont égaux; donc les antécédents 9+3 et 7 + 5 sont aussi égaux entre eux (déf. \h, rem. 1”).

2“ Il s’agit de prouver qu’on a la proportion 9 . 5 : 7. 3 . Ajoutant aux deux termes de chaque rapport le conséquent de l’autre , ce qui ne change pas sa valeur (déf. 3, rem. 1, on obtient les rapports

qui ont les mêmes conséquents, et dont les antécédents sont égaux par hypothèse ; donc ces deux rapports sont égaux , et il en est de même des rapports 9.5, 7.3 ; donc on a la proportion 9 . 5 : 7. 3.

Corollaire. Pour que quatre nombres soient en proportion arithmétique, il faut et il suffit que la somme du premier et du quatrième soit égale à celle du second et du troisième.

PROPOSITION VIII

Dans toute proportion géométrique 6 : 3 : ; 4 : 2, /e produit des extrêmes est égal à celui des moyens ; et réciproquement , quatre nombres 6, 3, 4 , 2 sont en proportion géométrique, lorsque le produit du premier par le quatrième est égal au produit du second par le troisième.

LIVUK V.

1® En multipliant les deux termes de chaque rapport par le conséquent de l’autre, on a (pr.6) la nouvelle proportion 6x2:3x2::4x3:2x3,

dans laquelle les conséquents 3x2 et 2x3 sont égaux; donc les antécédents 6x2 et 4x3 sont aussi égaux entre eux (déf. 14, i‘em. 1“).

2° 11 s’agit de prouver qu’on a la proportion 6: 3:: 4:2. Multipliant les deux termes de chaque rapport par le conséquent de l’autre, ce qui ne "change pas sa valeur (déf. 3, rem. 2, 3°), on obtient les rapports

qui ont les mômes conséquents, et dont les antécédents sont égaux par hypothèse ; donc ces deux rapports sont égaux , et il en est de môme des rapports 6:3, 4:2 ; donc on a la proportion 6 : 3 :: 4 : 2.

CoKOLLAiRE. PouT que quatre nombres soient en proportion géométrique, U faut et il suffit que le produit du premier par le quatrième soit égal au produit du second par le troisième.

PROPOSITION IX

Étant donnés trois termes quelconques d’une proportion arithmétique, trouver le quatrième.

Supposons que le terme inconnu soit un extrôme, et qu’il s’agisse de trouver la valeur du terme x dans la proportion 9.7:5. a;.

La valeur de x doit être telle que, ajoutée à l’extrôme 9, elle donne une somme égale à 7+5 (pr. 7); donc (7+5) — 9 = 3. En général, un quelconque des extrêmes d'une proportion arithmétique est égal à la somme des moyens diminuée de Vautre extrême.

On prouverait de môme que l'un quelconque des moyens est égal à la somme des extrêmes diminuée de Vautre moyen.

Remarque. Pour trouver la moyenne arifhmélique entre

-184 ABITHMÉTIQDE.

deux nombres 9 et 5 ou , autrement, le terme moyen de la proportion continue 9. a; : x.5 (déf. 13) , on observe que la somme des moyens ou le double de x est égale à la somme (9 + 5) des extrêmes; doncx=^=7. En général, la moyenne arithmétique entre deux quantités est égale à leur demi-somme.

PROPOSITION X

Étant donnés trois termes quelconques d’une proportion géométrique, trouver le quatrième.

Supposons que le terme inconnu soit un extrême, et qu’il s’agisse de trouver la valeur du terme x dans la proportion 6:3::V:a;.

La valeur de x doit être telle que multipliée par l’extrême 6 elle donne un produit égal à 3 X 4 (pr. 8) ; donca:=^ =2; en général, un quelconque des extrêmes dCune proportion géométrique est égal au produit des moyens divisé par Vautre extrême.

On prouverait de même que tun quelconque des moyens est égal au produit des extrêmes divisé par Vautre moyen. \

Remahqoe. Pour trouver la moyenne géométrique entre deux nombres 4 et 9 ou , autrement, le terme moyen de la proportion continue 4: a;:: a:: 9, on observe que le produit des moyens ou le carré de x est égal au produit 4x9 des extrêmes ; donc a: = |/4x9 = 6. En général , la mtryenne géométrique entre deux nombres est égale à la racine carrée de leur produit.

PROPOSITION XI

Les sommes qu’on obtient, en ajoutant entre eux les termes correspondants de plusieurs proportions arithmétiques 15 . 12 : 10 . 7 , 8 . 6 : 5 . 3 , sont en proportion arithmétique ; et la raison de celle proportion est égale à lu somme des raisons des proportions proposées.