LIVRE V

En effet, les rapports 15.12, 8.6 étant égaux respectivement aux rapports 10.7, 5.3', la somme (15 + 8). (12+6) des deux premiers rapports (pr. 1) est égale à celle des deux autres ; donc on a la proportion

dont la raison (15+8) .(12+6) est égale à la somme des raisons 15.12, 8.6 des proportions proposées (déf. 7).

Remarque. On prouverait de môme qu’on a la proportion (15-^8) . (12— 6) ; (10— 5). (7—3) ; donc les restes qu'on obtient, en retranchant les termes d’une proportion arithmétique des termes correspondants Æune autre proportion arithmétique , sont en proportion arithmétique; et la raison de celte proportion est égale à la différence des raisons des proportions proposées.

PROPOSITION XII

Les produits qu'on obtient , en multipliant entre eux les termes correspondants de plusieurs proportions géométriques, 8 : 5 : : 1 6 : 1 0 , 6 : 3 : : 4 ; 2, sont en proportion géométrique; et la raison de celte proportion est égale au produit des raisons des proportions proposées.

En effet, les rapports 8:5, 6:3, étant égaux respectivement aux rapports 16:10, ^ : 2, le produit 8x6: 5x3 des deux premiers rapports ( pr. 2 ) est égal à celui des deux autres ; donc on a la proportion

dont la raison 8x6: 5x3 est égale au produit des raisons 8:5, 6:3 des proportions proposées.

Remarque. On prouverait de même qu’on a la proportion donc te quotients qu'on obtient, en divisant les termes d'une proportion géométrique par les termes cor-

^ 86 AKITUHÉTIQUE. '

respondants d'une autre proportion géométrique, sont en proportion géométrique; et la raison de cette proportion est égale au quotient de la division de la raison de la première par celle de la seconde.

PROPOSITION XIII

Les carrés des termes d'une proportion géométrique 10 : 5 ;: 6;3 sont en proportion géométrique; et la raison de cette proportion est égale au carré de la raison de la proportion proposée.

En effet, les rapports 10:5, 6:3 étant égaux, leurs carrés 100:25, 36:9 (pr.3) sont aussi égaux entre eux; donc on a la proportion 100:25:: 36:9, dont la raison 36 : 9 est égale au carré de la raison 6 : 3 de la proportion proposée.

Remarque. On prouverait de môme que : les cubes et , en général , les m^* puissances des termes d'une proportion géométrique sont en proportion géométrique ; et la raison de cette proportion est égale au cube ou à la m^ puissance de la raison de la proportion proposée (pr. 3).

PROPOSITION XIV

Les racines carrées des termes d'une proportion géométrique 1 00 : 25 : : 36 : 9 sont en proportion géométrique; et la raison de cette proportion est égale à la racine carrée de la raison de la proportion proposée.

En effet, les rapports 100 : 25 , 36 : 9 étant égaux , leurs racines carrées 10:25, 6:3 (pr. 4) sont aussi égales entre elles ; donc on a la proportion 10 : 5:: 6 : 3 , dont la raison 6:3 est égale à la racine carrée de la raison 36:9 de la proportion proposée.

UVHE V.

Remabque. On prouverait de même que : les racines cubiques et, en général, les racines des termes dune proportion géométrique sont en proportion géométrique ; et la raison de cette proportion est égale à la racine cubique ou de la raison de la proportion proposée (pr.4, rem.).

PROPOSITION XV

Donner aux termes dune proportion 6 ; 3 ;: 4:2 toutes les dispositions qui 7i altèrent pas cette proportion.

Les conditions nécessaires et suffisantes pour que quatre nombres 6, 3, 4, 2 soient en proportion géométrique étant que le produit du premier par le quatrième soit égal au produit du second par le troisième (pr. 8), on peut donner aux termes de la proportion 6:3:: 4:2 toutes les dispositions qui n’altèrent pas l’égalité entre le produit des extrêmes et celui des moyens.

Intervertissant l’ordre des moyens , on a la seconde proportion 6 : 4 :: 3 :2. Intervertissant l’ordre des extrêmes dans la première et dans la seconde proportion, on a une ti'oisième et une quatrième proportion. Intervertissant l’ordre des deux termes de chaque rapport dans les proportions

(I). (î), (3), {*), on obtient quatre nouvelles proportions qui, jointes aux quatre précédentes, forment les huit proportions

Corollaire. La proportion ( 2 ) comparée à la proportion (I) montre que dans toute proportion 6 : 3 :: 4 : 2 , rapport des antécédents est égal à celui des conséquents.

AHITIIMETIQÜE.

'ISS

PROPOSITION XVI

Lorsque deux proportions 6 : 3 :: 4 : 2 , 12 : 3 :: 8:2 ont les mêmes conséquents , leurs antécédents sont proportionnels.

Car, en intervertissant l’ordre des moyens dans chacune des proportions proposées, on a (pr. 15}.

Ces deux proportions ayant un rapport commun 3:2, les deux autres rapports donnent la proportion 6 : :: 12 : 8 (déf. 14, rem. 2'’).

Remarque. On prouverait de même que lorsque deux proportions ont les mêmes antécédents , leurs conséquents sont proportionnels.

PROPOSITION XVII

Dans toute proportion géométrique 6 : 3 :: 4 : 2 , la somme des deux premiers termes est au second ou au premier comme la somme des deux derniers est au quatrième ou au troisième.

l«Ona (6+3):3::(4+2):2.

Car, en augmentant chaque antécédent de son conséquent, on a augmenté chaque rapport d’une unité (liv. 1, pr. 12) ; donc les deux rapports sont encore égaux , et on n’a pas altéré la proportion.

2“ Ces deux proportions ayant les mêmes conséquents 3 et 2, leurs antécédents donnent la proportion

(6+3): 6:: (4 + 2): 4 (pr.l6).