LIVRE V

PROPOSITION XVIII

Dans toute proportion géométrique 6:3:: 4:2, la différence des deux premiers termes est au second ou au premier, comme la différence des deux derniers est au quatrième ou au troisième.

l»Ona (6-3):3::(4-2):2.

Car, en diminuant chaque antécédent de son conséquent, on a diminué chaque rapport d’une unité (liv.l, pr. 12, rem.) ; donc les deux rapports sont encore égaux, et on n’a pas altéré la proportion.

2° Ces deux proportions ayant les mêmes conséquents 3 et 2 , leurs antécédents donnent la proportion

(6-3): 6:: (4-2): 4 (pr.l6).

Corollaire. Les proportions (6 + 3):3::(4 + 2):2, ( 6 — 3 ) : 3 : : ( 4 — 2 ) : 2 , ayant les mêmes conséquents , donnent (6 + 3): (4 + 2):: (6—3) : (4—2) ; donc, dans toute proportion géométrique 6; 3 :: 4 :2 , la somme des deux premiers termes est à celle des deux derniers , comme la différence des deux premiers est à celle des deux derniers.

PROPOSITION XIX

Dans toute proportion géométrique G : 3 : : /i : 2 , la somme des antécédents est au second ou au premier antécédent, comme celle des conséquents est au second ou au premier conséquent.

^ 90 ARITFIMÉTIOIIE.

Intervertissant l’ordre des moyens, on a 6:ti-::3:2, d’où l’on déduit (pr. 17) les deux proportions

qui comparées à la proportion 6:3:; 4:2 démontrent le principe énoncé.

, Remarqde. La même proportion 6: 4:: 3:2 donne (6—4) : 4 : : (3-2) : 2 , (6-4) : 6 :: (3-2) : 3 (pr. 18) , et (6 + 4):(3 +2) ::(6— 4) :(3— 2) (pr. 18, cor.) ; donc, dans toute proportion géométrique 6 : 3 4 : 2 , la différence des antécédents est au second ou au premier antécédent , comme celle des conséquents est au second ou au premier conséquent; et la somme des antécédents est à celle des conséquents comme la différence des antécédents est à celle des conséquents.

PROPOSITION XX

Dans tonte proportion géométrique 6 : 3 :: 4 : 2 , la somme des antécédents est à celle des conséquents comme un antécédent quelconque est à son conséquent.

En effet, on a (6+4):6::(3+2):3 (pr. 19). Intervertissant l’ordre des moyens, il vient

(6 + 4):(3+2)::6:3 ou ::4:2.

Remarque. On prouverait de même que (6— 4):(3— 2) ::6:3 ou :: 4 :2 (pr. 19, rem.) ; donc, dons toute proportion géométrique la différence des antécédents esta

celle des conséquents comme un antécédent quelconque est à son conséquent.

PROPOSITION XXI

Dans une suite de rapports égaux 6 : 3 , 4 : 2 , 10 : 5 , 1 4 : 7 , la somme des antécédents est à celle des conséquents comme un antécédent quelconque est à son conséquent.