LIVRE V

En effet , les deux premiers rapports forment une proportion dans laquelle on a

(6+4):(3+2)::4:2(pr.20);

mais, par hypothèse, 4 : 2 : : 10 : 5 ; donc

Cette nouvelle proportion donne

(6+4+10):(3+2 + 5) :: 10 :5 (pr.20) ;

or 10:5 :: 14:7 ; donc

Enfin cette dernière proportion donne

(6+4+10 + 14):(3+2+5+7)::14:7 ou ::10:5,etc.

PROPOSITION XXII

Dans toute proportion géométrique 4:5::8 : 10, le produit des antécédents est à celui des conséquents comme le carré d'un antécédent quelconque est au carré de son conséquent.

On a les deux proportions

Multipliant les termes de la première par les termes correspondants de la seconde, il vient (pr. 12).

4 X 8 : 5 X 10 : : 8" : 10^ ou :: 4“: 5* (pr. 13).

Remarque. Soit 12:15 un troisième rapport égal aux premiers. En multipliant les termes de la proportion 4x8 : 5x 10 :: 4“ : 5* par les termes correspondants de la proportion 12:15::4:5, ou a 4x8xl2:5xl0xl5::4":5= ou ;:8’:10’ ou (pr. 13, rem.) , et ainsi de suite ; donc

dans une suite denrapports égaux, le produit des antécédents est à celui des conséquents comme la n^ puissance d'un antécédent quelconque est à la n^”“ puissance de son conséquent.