PROGRESSIONS

DÉFINITIONS

13. Une progression est une suite de quantités telles que le rapport de l’une quelconque de ces quantités à celle qui la précède immédiatement est constant.

16. La raison d’une progression est le rapport constant d’un terme à celui qui le précède immédiatement.

17. Une progression o?,\, urithmétique ou géométrique, suivant que sa raison est un rapport arithmétique ou géométrique. Ain.si, les nombres 3 , 5 , 7, 9 , 11 sont en progression arithmétique; et les nombres 3, 6, 12, 24, 48 sont en progi’ession géométrique. La première progression s’écrit t 3.5.7.9.11 ; et la seconde H3: 6 : 12:24:48.

Remarque. Une progression géométrique est croissante ou décroissante , suivant que la raison est plus grande ou plus petite que l’unité (liv. 3, déf. 9, rem. 2).

18. Insérer n moyens arithmétiques ou géométriques entre deux nombres donnés , c’est écrire , entre ces deux nombres , n nombres qui forment avec les deux premiers une progression arithmétique ou géométrique. Ainsi , en écrivant, entre 5 et 13, les nombres?, 9, 11, qui forment avec 5 et 13 la progression 75.7.9.11.13 , on a inséré trois moyens arithmétiques entre 5 et 13. En écrivant, entre 5 et 160 , les nombres 10 , 20 -, 40 , 80 , qui forment avec 5 et

i.n RE V. < 9:<

160 la progression Hô : 10 : iJO : 40 : 80 : 160 , on a inséré quatre moyens géométriques entre 5 et 160.

PROPOSITION XXIII

On n'aUère pas une progression arithmétique, 1° lorsqu'on augmente ou qu’on diminue tous ses, termes d'une même quantité; 2° lorsqu'on multiplie ou qu’on divise tous ses termes par un même nombre.

1° Car, en augmentant ou en diminuant deux termes consécutifs quelconques d’une même quantité , on n'a pas changé leur rapport arithmétique (déf. 3, rem. 1, 4°); donc tous les termes résultants forment une nouvelle progression arithmétique , qui a la môme raison que la première.

2” Car, en multipliant ou divisant deux ternies consécutifs quelconques par un même nombre, on a multiplié ou divisé leur rapport arithmétique par ce nombre (déf. 3, rem. 1,0"); donc tous les termes résultants forment une nouvelle progression arithmétique, dont la raison est égale à celle de la première, multipliée ou divisée par ce même nombre.

PROPOSITION XXIV

On n' altère pas une progression géométrique , lorsqu'on multiplie ou qu’on divise tous ses termes par un même nombre.

Car, en multipliant ou divisant deux termes consécutifs quelconques par un même nombre, on n’a pas changé leur rapport géométrique ( déf. 3 , rem. 2, 3" ) ; donc tous les termes résultants forment une nouvelle progression géométrique, (pii a la môme raison que la première.

PROPOSITION XXV

Dans toute progression arithmétique r2.5.8.1 1 .14. 17.20 , un terme de rang quelconque est égal au premier terme 2, augmenté de la raison 3 multipliée par le nombre des termes qui le précédent; et au dernier terme 20, diminué de la raison multipliée par le nombre des termes qui le suivent.

1“ En effet, le rapport arithmétique de 5 à 2 étant égal à 3, le second terme 5 est égal au premier terme 2, augmenté de la raison 3 ; pareillement , le troisième terme 8 est égal à 5 + 3 ou à2 + 3x2, le quatrième terme 11 est égal à 8+3 ou à 2 + 3x3 , et ainsi de suite.

2° Le rapport arithmétique de 20 à 17 étant égal à 3 , on a 17=20—3 ; on a de même 14=17—3 ou 14 = 20—3x2; 11 = 14—3 ou 11 = 20—3x3, et ainsi de suite.

Corollaire. Le rapport arithmétique d'un terme à l’un des termes précédents est égal à la raison multipliée par le nombre plus un des termes intermédiaires.

Car, en supposant , par exemple , que la progression commence au terme 5, on a 17=6+3x4 et, par suite, (17-5) ou (17.5)=3x4.

PROP.'OSITION XXVI.

Dans toute progression géométrique H 2 : 6 : 1 8 : 54 : 162:486:1458, un terme de rang quelconque est égal au premier terme 2, multiplié par la raison 3 élevée à une puissance dont le degré est égal au nombre des termes qui le précédent; et au dernier terme 1458 divisé par la raison élevée à une puissance dont le degré est égal au nombre des termes qui le suivent.