I.IVRE V

1" En effet, le rapport géométrique de 6 à 2 étant égal à 3 , le second terme 6 est égal au pi-emier terme 2 multiplié par la raison 3; pareillement, le troisième terme 18 est égal à 6x3 ou à 2x3^; le quatrième terme 54 est égal à 18x3 ou à 2x3% et ainsi de suite.

2“ Le rapport géométrique de 1458 à 486 étant égal à 3 , on a 486 = on a de même 162 = ou 162 = .

54 = ^ ou 54 = , et ainsi de suite.

ConoLLAiRE, Le rapport géométrique d'un terme à l’un des termes précédents est égal à la raison élevée à une puissance dont le degré est égal au nombre plus un des termes intermédiaires. Car, en supposant , par exemple , que la progression commence au tenue 6, on a 486 = 6 x 3^ et, par suite, ou (486: 6) = 3*.

PROPOSITION XXVII

Insérer 5 moyens arithmétiques entre deux nombres, 8 et 26.

Si l’on connaissait la raison de la progression demandée (déf. 17), on formerait tous les termes compris entre 8 et 26 en ajoutant cette raison successivement au premier terme 8, au second terme qui en résulte, et ainsi de suite. Mais 5 étant le nombre des moyens à insérer entre 8 et 26 , le rapport (26.8] ou 18 est égal à la raison multipliée par 6 (pr.25,cor.); donc la raison est égale à-^ ou 3; de sorte qu’on a

En général, pour insérer 2dusieurs moyens arithmétiques entre deux nombres donnés, on détermine la raison de la progression en soustrayant te premier nombre du second, et en divisant le reste par te nombre des moyens augmenté d'une unité.

PROPOSITION XXVIIl.

Insérer 5 moyens géométriques entre deux nombres , 3 et 192.

Si l’on connaissait la raison de la progression demandée (déf. 17), on formerait tous les termes compris entre 3 et 192 en multipliant par cette raison successivement le premier terme 3, le second terme qui en résulte, et ainsi de suite. Mais 5 étant le nombre des moyens à insérer entre 3 et 102, le rapport (192: 3) ou 64 est égal à la sixième puissance de la raison (pr.26, cor.) ; donc la raison est égale à

fi

V 64 ou 2, de sorte qu’on a

En général , pour insérer plusieurs moyens géométriques entre deux nombres donnés, on détermine la raison de la progression en divisant le second nombre par le premier, et en extrayant du quotient une racine dont le degré est égal au nombre des moyens augmenté d'une unité.

PROPOSITION XXIX

Lorsqu'on insère, entre deux termes consécutifs quelconques (rime progression arithmétûjue t2. 26. 50.74. 98, un même nombre 3 de moyens arithmétûjues , tous les termes résultants sont en progression arithmétique.

En elTet , on obtient ainsi une première progression arithmétique dont 2 et 26 sont les extrêmes (déf. 18) et dont la raison est égale à (pr. 27) , une seconde progression ai itlimétiquedonf 26 et 50 sont les extrêmes et dont la rai-

MVKE V.

son est égale à or 50-26 = 26-2 par hypothèse

(déf. 17); donc ; donc les deux progressions ainsi

obtenues ne font qu’une seule et môme progression dont 2 et 50 sont les extrômes; pareillement, la seconde et la troisième progression ne font qu’une seule et môme progression dont 26 et 74- sont les extrêmes, et ainsi de suite ; donc tous les termes résultants sont en progression arithmétique.

Réciproquement. Plusieurs termes 2, 26, 50... d’une progression arithmétique 72.8.14.20,26... sont en progression arithmétique, lorsqu’il existe un même nombre 3 de moyens entre le premier et le second, entre le second et le troisième , etc. Car le rapport arithmétique de 26 à 2 est égal à 6x(3 + l) (pr.25,cor.); celui de 50 à 26 est égal à 6 X (3+1), etc.; donc les termes 2, 26, 50... de la progression proposée forment une progression arithmétique dont la raison est 6 X (3 + 1) ou 24.

PROPOSITION XXX

Lorsqu’on insire, entre deux termes consécutifs quelconques d’une progression géométrique H7:112:1792; 28672:458752..., un même nombre 3 de moyens géométriques , tous les termes résultants sont en progression géométrique.

En effet, on obtient ainsi une première progression géométrique dont 7 et 112 sont les extrômes (déf. 18) et dont

la raison est égale à (pr. 28) , une seconde progression géométrique dont 112 et 1792 sont les extrômes et

dont la raison est égale à ^ P®*" hypo- * , +

thèse (déf. 17) ; donc V = k iii ; donc les deux progressions ainsi obtenues ne font qu’une seule et môme pro-

ARlTlIMETigCE.

pression dont 7 et 1792 sont les extrômes ; pareillement, la seconde et la troisième progression ne font qu’une seule et même progression dont 112 et 28672 sont les extrêmes , et ainsi de suite ; donc tous les termes résultants sont en progression géométrique.

Réciproquement. Plusieurs termes T, 112, 1792... d'une progression géométrique H7:14:28:56:112... sont en progression géométrique , lorsqu'il existe tin même nombre 3 de moyens entre le pretnier et le seeond, entre le second et le troisième, etc. Car le rapport géométrique de 112 à 7 est égal à 2* (pr. 26, cor.) ; celui de 1792 à1 12 est égal à 2^, etc. ; donc les termes 7, 112, 1792... de la progression proposée forment une progression géométrique dont la raison est 2* ou 16.

PROPOSITION XXXI

Dans toute progression arithmétique , la somme de deux termes également distants des extrêmes est égale à celle des extrêmes.

Considérons le («4-1)^’^ terme à partir de la gauche et le (m+ 1)^»« terme à partir de la droite. Le premier de ces deux tenues est égal au premier terme de la progression , augmenté de n fois la raison (pr.25); le (« + 1)^ terme à partir de la droite est égal au dernier terme de la progression, diminué de n fois la raison (pr.25]; donc la somme des deux termes proposés est égale à la somme des extrêmes augmentée et diminuée de n fois la raison , ou à la somme des extrêmes.

PROPOSITION XXXII

Dans toute progression géométrique , le produit de deux termes également distants. des extrêmes est égal au produit des extrêmes.

LIVHE

Considérons le {71 + 1)^""’ toi mc n partir de la gauche et le (n+ terme à partir de la droite, l.e premier de ces deux termes est égal au premier terme de la progression, multiplié par la n'"'*’ puissance de la raison (pr.20); le («-t-l)*'** terme à partir de la droite est égal au dernier terme de la progression, divisé par la puissance de la raison (pi*. 26) ;

donc le produit des deux termes proposés est égal au produit des extrêmes , multiplié et divisé par la puissance de la raison, ou au produit des extrêmes.

PROPOSITION XXXIII

La somme des termes d'une progression arithmétique n.1 0.1 3.1 6.1 9 est égale à la moitié du produit de la somme des extrêmes par le noinbre des ter /nés.

£n désignant par s la somme demandée , on a

s = 7 -1-10+134-16+19 et *=19+16+13 + 10+7;

donc s+s ou

sx2=(7 + 19) + (10 + 16) + (13 + 13) + (16+10) + (194-7);

or 10 et 16 étant également distants des extrêmes 7 et 19, la somme 10+16=7 + 19 (pr. 31); par la même raison, 13+13=7 + 19, 16 + 10=7 + 19, et ainsi de suite; donc

SX2=(7 + 19)X5 et * = = 65.

Reuxrque. Le dernier terme 19 étant égal à 7+8x4 (pr. 25), on a

(7 + 19)x5{*tx2 + 3x4)x5.

donc la so/n/ne des termes d'une progression arithmétique est égale à la moitié du produit du nombre des termes par la

200 ^ AHITHMÉTIODE.

somme qu'on obtient en ajoutant au double du premier terme

la raison multipliée par le nombre moins un des termes de la

progression.

PROPOSITION XXXIV

Le produit des termes d’une progression géométrique H3: 6: 12: 24: 48 est égal à la racine carrée du produit des extrêmes élevé à une puissance dont le degré est le nombre des termes de la progression.

En désignant par p le produit demandé, on a

p= 3 X 6 xl2x24xW et p = 48x24xl2x 6 X3;

doncpXp ou

pa= (3 X 48] X (6 X 24] X (12 X 12] X (24 X 6) X (48 X 3] ;

or 6 et 24 étant également distants des extrêmes 3 et 48, le produit 6x24=3x48 (pr.32]; par 1a même raison, 12x12 = 3 X 48, 24 X 6 = 3 X 48, et ainsi de suite ; donc

p^= (3x48)' et /) = l/(3x48)'

Remarque. Le dernier terme 48 étant égal à 3x2' (pr. 26], on a 3x48=3*x2' et (3x48]'=(3»)'x(2']'=3'®x2=*“; donc 1/(3 X 48]' = l/3'® X2*®= 3' X 2'® (liv. 4, pr. 22, cor.).

L’exposant 5 étant le nombre des termes de la progression , et l’exposant 10 la moitié du produit 5x4, fc produit des termes dune progression géométrique est égal au produit qui a pour facteurs le premier tfrme 3 élevé à une puissance dont le degré est le nombre des termes de la progression, et la raison 2 élevée à une puissance dont le degré est la moitié du produit du nombre des termes par ce même nombre diminué d’une unité.