LIVRE V

PROPOSITION XXXV

Trouver la somme des termes d' une progression géométrique croissante ou décroissante.

1“ Soit proposé de trouver la somme des termes de la progression

En désignant par s la somme demandée, on a 4 = 4 + 12+36 + 108 + 321.

Multipliant ces deux nombres égaux par la raison 3, il vient 4X3=4x3 + 12x3+36x3+108x3+324x3 4X3=12+36 + 108+324 + 324x3;

ou

donc

4X3—4 ou 4 x(3— l) = 324x3— 4

et, par suite, 4 = ^ = — - — = 2 =

En général , pour avoir la somme des termes d'une progression géométrique croissante , on multiplie le dernier terme par la raison, on soustrait de ce produit le premier terme et on divise le reste par la raison moins un.

2° En désignant par 4 la somme des termes de la progression

H324:108:36:12:4 dont la raison est | , on trouve

et, par suite,

•202 * AIUTHMÉTIQUE.

En général, pour avoir la somme des termes d'une progression géométrique décroissante, on diminue le premier terme du produit du dernier terme par la raison, et on divise le reste par l'unité moins la raison.

Remabqüe 1. Le dernier terme 324' de la progression r-4: 12: 36: 108: 324 étant égal à 4x3* (pr.26), on a

donc la somme des termes dtune progression géométrique croissante peut s'obtenir en retranchant (unité de la raison élevée à une puissance dont le degré est le nombre des termes de la progression , en multipliant le reste par le premier terme, et en divisant le produit par la raison tnoins un.

Remarque 2. Le dernier terme 4 de la progression ri 324 : 108 : 36 : 12 : 4 étant égal à 324 X (i)* (pr. 26), on a