X (i)* X î tl - (ï)‘l X

donc la somme des termes éCune progression géométrique décroissante peut s’obtenir en retranchant de l’unité, la raison élevée à une puissance dont le degré est le nombre des termes de la progression, en multipliant le reste par le premier terme et en divisant le produit par (unité moins la raison .

PROPOSITION XXXVI

Les sommes qu’on obtient, en ajoutant entre eux les termes correspondants de plusieurs progressions arithmétiques 15.12.19.26.33, t2.5.8.1 1 .14, sont enprogression arithmétique ; et la raison de cette progression est égale à la somme des raisons des progressions proposées.

En elTet, les rapports 19.12, 8.5 étant égaux respective-

LIVHE V.

mentaux rapports 12.5, 5.2 (déf. 16) , la somme (19+8). (12 + 5) des deux premiers rapports (pr. l)est égale à la somme (12+5). (5+2) des deux autres ; par la môme raison, le rapport (26+11). (19 + 8) est égal au rapport (19+8). (12 + 5), et ainsi de suite ; donc on a la proportion

7 ( 5 + 2 ). (12+5). (19+8).(26 + ll).(33+l-V),

. dont la raison (12 +5). (5 + 2) est égale à la somme des raisons des progressions proposées.

Rem.xhqle. On prouverait de même qu'on a la progression t( 5-2).(12-5).(19-8). (26-11). (33-14); donc les restes qu’on obtient en diminuant les termes d’une progression arithmétique des termes correspondants d’une autre progression arithmétique , sont en progression arithmétique ; et la raison de cette progression est égale à la différence des raisons des deux progressions j^Toposées (pr. 1, cor.).

PROPOSITION XXXVII

Les produits quon obtient, en multipliant entre eux les termes correspondants de plusieurs progressions géométriques ^ 2 : 6 : 1 8 : 54 : 1 02, H 5 : 1 0 : 20 : 40 : 80 , sont en progression géométrique ; et la raison de cette progression est égale au produit des raisons des progressions proposées.

En effet, les rapports 18:6, 20:10 étant égaux respectivement aux rapports 6:2,10:5 (déf. 16), le produit 18x20 :6xl0 des deux preaniers rapports (pr.2) est égal au produit 6x10:2x5 des deux autres; par la môme raison , le rapport 54 x 40 : 18 x 20 est égal au rapport 18 x 20 : 6 x 10 , et ainsi de suite; donc on a la proportion

dont la raison 6x10:2x5 est égale au produit des raisons des progressions proposées.

204 ARITHMÉTIQUË.

Remarque. On prouv(yait de même qu’on a la progression ^ I • Quotients qu'on obtient , en divisant les termes d’une progression géométrique par les termes correspondants Æune autre progression géométrique, sont en progression géométrique ; et la raison de celle progression est égale au quotient de la division de la raison de la première progression par celle de la seconde (pr. 2, cor.).

PROPOSITION XXXVIII

Les carrés des termes d’une progression géométrique H 3 : 6 : 1 2 : 24 : 48 sont en progression géométrique; et la raison de cette progression est égale au carré de la raison de la progression proposée.

En effet, les rapports 6:3 , 12:6, 24:12... étant égaux, leurs carrés 36:9, 144:36 , 576:144... (pr.3) sont aussi égaux entre eux ; donc on a la progression

dont la raison 36 : 9 est égale au carré de la raison 6 : 3 de la progression proposée.

Remarque. On prouverait de même que : les cubes et , en général, les m^^ puissances des termes Æune progression géométrique sont en progression géométrique; et la raison de cette progression est égale au cube ou à la m‘"“ puissance de la raison de la progression proposée (pr. 3, rem.).

PROPOSITION XXXIX

Les racines carrées des termes d'une progression géométrique H 9 : 36 :1 44 : 576 : 2304 sont en progression géométrique ; et la raison de cette progression est égale à la racine carrée de la raison de la progression proposée.