RÈGLES D’INTÉRÊT COMPOSE

PROBLÈME XII

Trouver l’intérêt composé du capital 180ü0';;/acc pendant 3 ans à 5 pour 100.

Puisque 100' rapportent 5' par an , 100' placés pendant une année valent (100' + 5') ou 105' à la fin de cette année ; donc l' vaut ou |i' ou 1' x à la fin de la première année; donc pour obtenir la valeur d’un capital quelconque au bout d’une année , il suffit de multiplier ce capital par 1^. Cela étant, le capital l'x|^, placé pendant la deuxième année, vaudra l'x|jx|^ ou l'x(|^)* à la lin de celte année, et le capital t'x(|^)^, placé pendant la troisième année, vaudra l'x(fj)^x|^ ou l'xfij'l’ à la fin de cette année;

AHirtlMETigUE.

donc 18000' vaudront 18000' x (f^) ' ou 20837', 25 à la fin de la troisième année ; donc l’intérêt demandé est (20837', 25 -18000') ou 2837' ,25.

En général, pour trouver l’intérêt composé d'un capital placé pendant plusieurs années, on cherche le rapport de la valeur de 100' au bout d’un anà 100', on multiplie le capital proposé par ce rajjport élevé à une puissance dont le degré est égal au nombre des années, ee qui donne la valeur du capital à la fin de la dernière année, puis on retranche de cette valeur le capital proposé.

Reuahqüe. On pourrait aussi chercher l’intérêt 000' de 18000' placés pendant la première année, en posant la proportion 100;18000::5:iC (prob.5), ajouter cet intérêt à 18000', ch(!rcher l’intérêt 945' du capital 18900' qui en résulte, ajouter 945' à 18900', chercher l’intérêt 992',25 du capital 19845' qui en résulte, ajouter 992' ,25 à 19845', puis retrancher 18000' de la valeur 20837', 25 de 18000' à la fin de la troisième année.

PROBLÈME XllI.

Trouver le capital qu’il faut placer à 5 pour 100 et à intérêt composé , pendant 3 ans , pour qu’il vaille 20837', 25 O la fin de la troisième année.

Si l’on connaissait ce capital, en le multipliant par on obtiendrait sa valeur 20837',25 à la fin de la troisième année (prob.l2) ; donc en divisant 20837',25par (fj)’, le quotient 18000' sera le capital demandé.

PROBLÈME XIV

Trouver l’intérêt composé du capital iSOOO' placé .pendant 3* 320’ à 5 pour 100.

LIVKE V.

En multipliant 18000' par (|^)^ on obtient la valeur 20837',25 de ce capital à la lin de la troisième année (prob. 12). Pour avoir l’intérêt simple de 20837', 25 pendant 320 jours , on multiplie 20837', 25 par 320 et on divise le produit par 7200 (prob. 10, rem. 2), ce qui donne 926', 10 ; donc (20837',25+926',10) ou 217C3',35 est la valeur de 18000' au bout de 3* 320) , et l’intérêt demandé est(21763',35 -18000') ou 3763',35.

En général, pour trouver l’intérêt composé (T un capital placé pendant un certain nombre d'années et de Jours, on cherche la valeur du capital à la fin de la dernière année , puis t intérêt simple de cette valeur pendant le nombre des jours; on ajoute cet intérêt au capital correspondant et on retranche de la somme le capital proposé.

Re-mahque 1. On peut aussi résoudre ce problème de la manière suivante : la valeur de 1' à la fln de la troisième année étant l' x (|^)’, on cherche l’intérêt^' de fplacé pendant 320) (prob. 10, rem. 2) ; on ajoute l'à^'ce qui donne l'x||, d’où l’on conclut que la valeur de 1' au bout de 3* 320) est l'x(|i)''x^ et, par suite, que la valeur de 18000' au bout de 3* 320) est 18000' x(|^)’xfj ou 21763'35; donc (21763',35— 18000'j ou 3763',35 est l’intérêt demandé.

Remarque 2. On trouverait de môme l’intérêt composé d’un capital placé pendant un certain nombre d’années et de mois.

PROBLÈME XV

Trouver le capital qu'il faut placer à ô pour 100 et à intérêt composé, pendant 3 “ 320 ', pour qu’il vaille 21763',35 à la fin du dernier jour.

Si l’on connai.ssait ce capital , en le multipliant par (ïo)^^fo« on obtiendrait sa valeur 21763', 35 au bout de 3” 320) (prob. H, rem. 1 ) ; donc en divisant 21763', 35 par (foX ^lo* quotient 18000' sera le capital demandé.

AlUTHHETlQüE.

BÈGLES D’ANNUITÉS.

DÉFINITIONS

26. Un placement par annuités est celui par lequel l’emprunteur s’engage à rembourser le capital avec ses intérêts au moyen de plusieurs paiements effectués successivement à la fin de chaque année.

27. Chaque paiement effectué à la fin d’une année est une annuité.

PROBLÈUE XVI.

Une personne emprunte 50440' qu’elle s'engage à rembourser avec l’intérêt composé à 5 pour 100, au moyen de trois paiements égaux effectués successivement à la fin de chaque année; trouver la valeur de l'annuité.

Désignons par x l'annuité ou la somme inconnue que l’emprunteur doit payer à la fin de chaque année (déf. 27). Le premier paiement x, qui doit être effectué à la fin de la première année, vaudra la fin de la troisième

année (prob. 12) ; le deuxième paiement x , qui doit être effectué à la fin de la deuxième année, vaudra à la fin de la troisième année ; enfin le troisième paiement x , qui doit être effectué à la fin de la troisième année, vaut x à la fin de cette année ; donc en supposant que tous les paiements ne soient effectués qu’à la fin de la troisième année, l’emprunteur devra donner

mais, dans cette hypothèse, sa dette est évidemment la valeur 50440' x (|i)’ du capital 50440' à la fin de la troisième année ; donc