I.IVRE V

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PROBLÈME XXII

Trois fontaines , coulant ensemble , ont rempli un bassin ; la première , coulant seule, le remplirait en 3 heures ; la seconde , en 4 heures ; la troisième , en 5 heures ; trouver quelle partie du bassin a été remplie par chaque fontaine. *

Puisque la première fontaine, coulant seule, remplirait le bassin en 3'>, elle en remplirait i en li*; on voit de môme que la seconde, coulant seule , remplirait \ du bassin en Ih, et que la troisième en remplirait i en Ih; de sorte que, si l’on connaissait le nombre des heures que les trois fontaines , coulant ensemble , ont mis à remplir le bassin , en multipliant les fractions ^,7, par ce nombre, on aurait les parties du bassin remplies par les trois fontaines; donc C(!S parties sont entre elles comme les fractions 7, 7 , 7 ou comme les nombres entiers 20, 15, 12, et le problème est ramené <à celui-ci : partayer l'unité en trois parties x , y, z , proportionnelles aux nombres 20, 15, 12. Cela étant, la règle de société simple donne

(20-M5+12)ou47:l::

donc la première fontaine a rempli les ^ du bassin , la seconde en a rempli les 77 , et la troisième les t|-.

PROBLÈME XXIII

Partager 91 5 en trois parties telles que la seconde soit les — de la première, et la troisihne les — de la seconde.

. AKITHMKTIVUE.

Li' nombre proportionnel correspondant à la premièi-e part étant pris égal à 1 , celui qui correspond à la seconde sera j et celui qui correspond à la troisième sera |x {ouf ; de sorte que le problème est ramené à celui-ci : partager 915 trois parties x, y, z proportionnelles aux nombres 1, f, f ou aux nombres 28 , 21, 12. Cela étant , la règle de société simple donne

(28+21 + 12) ouCl;915::

PROBLÈME XXIV

Partager 91 5 en trois parties telles que la seconde soit fl la première comme 3:4, et la troisième à la seconde comme 4:7.

En désignant par x ,y, z \a première , la seconde et la troisième des parties demandées, on aura y:æ:;3:4, z:y.-.k\l et, par suite, y—xy.^, z = yy\, ce qui ramène le problème à celui-ci : partager 915 en trois parties telles que la seconde soit les f de la première, et la troisième les f de la seconde (prob. 23).

PROBLÈME XXV

Une personne laisse par testament 248000' à ses trois enfants , sous la condition que leurs, parts soient inversement proportionnelles à leurs âges 10®, 15®, 25®; trouver la part de chaque héritier.

En désignant par x , y, z les parts correspondantes aux .Iges 10*. 15‘, 2.5*, il faudra qu’on ait y:j:::10:15 ou

LIVHE V.

:: 2 : 3 et s : a;:: 10: 25 OU :: 2: 5, ce qui ramène le problème à celui-ci : partager 248000 en trois parties x, y, ’l telles que la seconde soit les | de la première, et la troisième les I de la première. Les nombres proportionnels étant 1 , |

ou 15, 10, 6 (prob. 23), la règle de société simple donne

(15+10 + 6) ou 31:248000::

donc l’aîné des enfants héritera de 48000' , le second de 80000' et le troisième de 120000'.

PROBLÈME XXVI

Trois personnes se sont associées; la première a avancé 600 ' au commencement de l’association et, 4 mois plus tard, 400 ' ; la seconde a avancé 900 ' au commencement de l’association et, 5 mois plus tard, elle a retiré 300 '; la troisième a avancé 800 ' au commencement de l'association, 3 mois plus tard elle a retiré 200 ' et, 2 mois après avoir retiré ces 200 ', elle a avancé 300 '; l'association a duré 10 mois; le gain total est 4500 ',- trouver le gain de chaque associé.

l*^' SOLUTION. Les 600' du premier associé, placés pendant 10”', ont rapporté le même intérêt que 600' x 10 ou 6000' placés pendant l""; mais, 4'" plus tard, il a avancé 400' qui, placés pendant (10'"— 4'”) ou 6'", ont rapporté le même intérêt que 400'x6 ou 2400' placés pendant 1'”; donc, en définitive , le premier associé a fait une avance de (6000'-+ 2400') ou de 8400', qui ont porté intérêt pendant l"".

l.es 900' du second associé, placés-pendant lO"”, ontrap-

AIllIiniÉïKJUE.

porté le même intérêt que 900' x 10 ou 9000' placés pendant 1" ; mais, 5” plus tard, il a retiré 300' qui, placés pendant (10“— 5“) ou 5” , ont rapporté le même intérêt que 300' X 5 ou 1500' placés pendant 1“ ; donc le second associé a fait une avance de (9000' — 1500') ou de 7500', qui ont porté intérêt pendant 1”.

En raisonnant de la môme manière , on trouve que le troisième associé a fait une avance de (8000 '— HpOO' - 1-1500') ou de 8100', qui ont porté intérêt pendant 1“.

Les mises 8400', 7500', 8100' des trois associés, ayant été placées pendant le même temps, les gains partiels sont proportionnels à ces mises, ce qui ramène le problème proposé à celui-ci : partager 4500 en 3 parties x, y, z proportionnelles aux nombres 8400 , 7500, 8100 ou aux nombres 28 , 25, 27. La règle de société simple donne

(28+25-1-27) ou 80 : 4500 ou 8 : 450 ::