Remplaçons, dans l’équation

)V,.l —PiO'u.'l ,

ri,.i par Umrs valeurs, il vient

(;/) ^ p.çu,\(qu —

= pdÇ'b.l t'/l) d(, /);,).

Cette équation «tonne iL en fonction de /ç,. Si on la suppose résolue par rapport à ta première de ces deux variables, el e

prend la forme

(C = /;,,! (pd).

C’est précisément l’équation de la courbe im,i«|,,i de demande <lc (A) en (B) par le porteur ( 1). Cette éipiation serait donc niathématiquement déterminable si les équations r — Ça.K'Ç, r = c:i, .!(-/) l’étaient elles-mêmes; c’est parce qu’elles ne le sont’pas que l’équation iL = fmip^d est empirique. ^

\insi se résoudrait le problème qui consiste, — Etant données deux marchandises (A) et (B) et les courbes d'util, té ou de besoin de ces deu.r marchandises pour chacun des échangeurs,

ou les équations de ces courbes, ainsi que la quantité possédée par chacun des porteurs, à déterminer les courbes de demande ou leurs équations.

82. Il est bon de donner la formule de cette solution conformément aux notations habituelles de l’analyse inlinitésimale.

Soient da la quantité à demander de (A), o\, la quantité à offrir de (B), au prix pa de (A) en (Bj, conformément à l’équation

i/b étant la quantité de (B) possédée par le porteur.

Soient d’ailleurs n = d>a.i('/), u = 0u,i(q), les équations exprimant les utilités effectives de (A) et (B) pour cet individu en tonction des quantités consommées et, par conséquent, 0A.\(d:d + 0\).\(qb — o\f) l’utilité effective totale des quantités achetée de ( A j et gardée de (B) à rendre maxima. Les dérivées des fonctions 0 étant essentiellement décroissantes, le maximum cherché aura lieu, pour notre échangeur, quand la somme algébrique des accroissements différentiels d’utilité relatifs aux quantités consommées de chacune des deux marchandises sera nulle, puisque, si on suppose ces accroissements illégaux en même temps que de signe contraire, il y aura avantage à demander plus ou moins de la marchandise pour laquelle l’accroissement différentiel sera plus fort ou plus faible en offrant plus ou moins de celle pour laquelle il sera plus faible ou plus fort. La condition de satisfaction maxima des besoins peut donc s’exprimer par l’équation

0 a,i (dii)ddn -|- 0' b,\ {q\) — Oh)d{q\) — Ob) = 0.

Or, d’une part, les dérivées des fonctions d’utilité effective par rapport aux quantités consommées ne sont autre chose que les raretés ; et, d’autre part, la somme algébrique des produits des prix des marchandises en l’une d’elles parles différentielles des quantités con.sommées est nulle conformément à l’équation

On a donc

Ça.l (da) — paÇb.l (<{U — daî>a).

J’explique la différentiation pour les lecteurs auxquels elle n’est pas familière. Les autres verront tout de suite qu’en différentiant l’une ou l’autre des deux expressions

(Pi\A (da) + 0h.\ (7l>

^f/a ^fjb—dap^

/ Ç^A{q)dq-\- / ÇbAiq)dq,

• 0 ^0 par rapport à da, on a

ÇnA (da ) — Pa Cb, 1 ( ?b — da^a) = 0,

soit

Ça,l (da) = paÇb.l (/7 b — daJJa),

et que la racine de cette équation dérivée correspond toujours à un maximum, et non à un minimum, par la raison que, les fonctions (P'aAiq) ÇaA(q)j d>'bA(q) OU ÇbAiq) étant essentiellement décroissantes, la seconde dérivée

Ç'^a.l (da) “1“ 7^a"Çî^b,l(?l> daPa)

est nécessairement négative.

88. Notre démonstration suppose les courbes de besoin continues ; il y a lieu d’examiner les cas où il y en aurait parmi elles de discontinues. A la rigueur, ces cas seraient au nombre de trois ; celui de l’échange d’une marchandise à courbe continue contre une marchandise à courbe discontinue ; celui de l’échange d’une marchandise à courbe discontinue contre une marchandise à courbe continue, et celui d’une marchandise à courbe discontinue contre une marchandise à courbe discontinue. Mais comme, ainsi que nous le verrons plus tard, on choisit une marchandise à la valeur de laquelle on rapporte les valeurs de toutes les autres et avec laquelle on achète toutes les autres et qui peut et doit être à courbe de besoin continue, il nous est permis de nous borner au premier cas.

Soit donc toujours ^r.i/5c|,i (Fig. 3) la courbe d’utilité de (B) pour le porteur (1) de (B), qb la quantité de (B) par lui possédée. Et soit une courbe en escalier passant aux points a et a'" la courbe d’utilité de (A) pour cet échangeur. La marchandise ( A ) ne s’achetant que par unités, et pa étant son prix en (B), la marchandise ( B) ne se vendra que par quantités égales à pa. Si les longueurs dad'a et dad'"a représentent la dernière unité achetée et la première unité non achetée de (A), et si les longueurs ijy" el 7^'" représentent la dernière quantité vendue et la première quantité non vendue de (B), alors que l’échangeur est arrivé à la satisfaction maxima, on a les deux inégalités

su rface 7/y"/9",9 <C daa , sui-face > (i'"aa"'.

Désignons par m" et m'" deux longueurs intermédiaires, l’une entre 7^9 et l’autre entre y (i ei y"' , telles qu’en les multipliant par yy"= yy"' — Pa on obtiendi'ait deux surfaces égales à yy"iT,3 et yy'"j3'"i3, et qui seront tes intensités moyennes d’utilité de la dernière quantité vendue et de la première quantité non vendue de (B); nous pouvons jjoserles deux inégalités dont l’ensemble détermine la demande de (A), da, sous la forme

pn)^l S y

De ces deux équations, on tire aisément

daa-fd"'aa'"

Or m'"est une quantité .très voisine de 27,9, et „ ;;;

est une quantité assez faible. D s’en faut donc d’assez peu que

l’on ait

daa -|-d"'aa"'

X4. Reprenons les deux inégalités

surface ijij" [i" ^ dihsi., surface

Lorsque diiTiinue, les deux premiers membres de ces inégalités diminuent. La première inégalité n’est pas troublée ; mais il vient un moment où la seconde change de sens et où d,-, augmente au moins d’une unité. Loi‘S(]ue pa augmente, les deux premiers membres des inégalités augmentent. La seconde inégalité n’est pas troublée ; mais il vient un moment où la première change d(> sens et ofi da diminue au moins d’une unité. La courbe de demande de (A) est donc à la fois décroissante et discontinue.

Analyti(iuement, un prix quelconque de ( A) en (B), p-.u étant crié, suivant que notre individu demandera 1,2... unités de (A) répondant à des besoins d’intensités 1^-2. ..et se procurera ainsi des utilités etfectives de (A) mesurées par les mêmes quantités i^i, n-2... il gardera des quantités 71, — pa, — 2pa... de (R) et renoncera aux utilités effectives de (R) mesurées par les

.\insi : — Dans le cas de l échangé a mie niarci de besoin continue contre une marchandise à c discontinue, guand a lieu la satisfaction maxin la moyenne des intensités du dernier besoin sat mier besoiiipwn satisfait de la marchandise ach du dernier besoin satisfait de la marchandise r près égal au prie.

Nous disons à peu près ; car non seulement le du prix de (A) en (R) par l’intensité du derniei de (R) peut n’être pas égal à la moyenne des ir nier besoin satisfait et du premier besoin non mais il peut même se trouver ou plus grand 0 chacune de ces deux quantités. En effet, on a

sui'face yi/iTi^ X y^

mais on n’a pas nécessairement

da3- ^ Ra X y^ J et, si on a, au contraire,

daa < pa X y^,

tiaa et d"'aa"', qui est < daa, sont tous deux inférieurs à paX//|5. De même on a nécessairement

surface > pa X ,'//3

intégralesnumériques j ÇM(g)dq, j çi,,-i (7) dry ..

• <)h — pa * gh— 2 pa

El la demande da qui donnera la satisfaction maxima sera dé terminée par l’ensemble des deux inégalités

/ ÇhA (q) dq > i-rfa 4- 1 .

7I) — (<ta + l)y)a

Ainsi se déterminerait mathématiquement da pour toute valeur de yja et se construirait la courbe décroissante et discontinue de demande de (A) en (B) en fonction du prix.

mais on n’a pas nécessaii-ement

et, si on a, au contraire

sont tous deux supérieurs

LEÇON

Discussion des courbes de de)nande.

Formule (jénérale de solution mathématique du problème de rechange de deux marchandises entre elles

Sommaiue: — 8o. l)emanaeaupnxmu;eiieesie^rticiii uumc u yii.

8(). Prix auquel la demaiule de (A) est nulle. — S7. Prix aiuiuel l ot-

fre de lli) est égale à la quantité possédée. — 8S. Condition de roilre é"ale à la quantité possédée: rencoidre de I hyperbole <le la (juantite no'^sédée et de la courbe de demande. — 89. L hyperbole est courbe (h* detnaiide entre les points d’intersection. — tK). Piminution de la *|uantité possédée. — 91. Augmentation.

92. 1.e cas général est celui d’un porteur <ies deux P^'^cliamnses. Deux éfiuations ou courl)es de demande elTective partielle. Jo, .D, 95 L’équation ou courbe de demande de cliaque marchandise est aussi équation ou courbe d’oIVre de la même inarchandise en fonction du ppix. — 9(). Système général d’équations de dispositions dans le cas dé l'échange de deux marchandises entre elles. — .D, 98. Résolution des équations.