Mais ce ii'est pas tout. D’abord, la même remarque est

applicable aux équalions de demande ou d’offre de (G), (D)... pour les valeurs de ph, /»c, pa... qui rendraient :i, a')... négatifs i)lus grands (lue qcAPhu-.- Puis, et précisément dans le cas où ces équations devraient être remplacées par les équations :iz= — r/,-4, a’i = — l’équation de demande ou d’offre de

(B) devrait être modiliée en conséquence.

Ainsi, dans le cas de ri = — qcA, par exemple, le système d’équations devant fournir la demande ou l’offre de (B) pai l’échangeur (l) serait le suivant :

■t'i !li Ph + ^ei pd ■ ■ • — P‘a gi).i('/i).i -f ;/i) = phÇ-.iAiq.wX +

Ç'il.l ( qdA + U'1 ) = Pd ç a,1 (/pi.l b

soit en tout m — 1 équations entre lesquelles on pourrait supposer successivement éliminées m — 2 inconnues telles que .Ci, l'A... de sorte qu’il ne restât plus qu’une équation donnant ;ii en fonction de ph, Pc pd... De même dans le cas de ici = — qdA--- De même enfin, on le comprendra sans qu’il taille insister davantage, si l’olfre non seulement dune seule des marchandises (C), (D)... mais de deux, trois, quatre... etginéralement de plusieurs quelconques d’entre elles, était égalé à la quantité possédée.

121. Nous n’avons rien dit de l’équation de demande ou d’offre de la marchandise numéraire (A) qui a une forme particulière. D est évident d’abord que cette équation, elle aussi, pour les valeurs de ph, Pc, )>d--- qui rendraient .ri négatit plus grand que ^a.i devrait être remplacée par l’équation .ri= </a,i, et en outre que, dans ce cas, le système déquations de\ant fournir la demande ou l’offre de (B) par l’échangeur (i) serait

le suivant ;

'/I P b + ri jjc + ICI pd-.. = q^A ,

ÎPjÇ'r.l “1“ "O =Pcg'b,l(/j(b,1 + >Ji),

phÇdAiqdA + U’i) = p,lÇb,i(//b,1 + >Ji),

soit toujours m — l équations entre lesquelles on pourrait supposer successivement éliminées m — 2 inconnues telles que n, u'i... de sorte qu’il ne restàtplus qu’une équation donnant //I en fonction de ph, Pc, Pd---

122. Il serait assurément plus ou moins difficile de disposer les équations de demande on d’offre de façon à ce qu’elles satisfissent à ces restrictions; mais il n’en est pas moins sûr, et c’est là le point essentiel, que certains prix p'i„ p'c, p'd... de (B), (G), (D)... en (A) étant criés, les quantités à demander et à offrir de toutes les marchandises, en tenant compte du fait de l’offre égale à la quantité possédée, sont parfaitement déterminées. G’est ce qu’il importe de faire voir.

Soient q = ^laA(r), q = ^hA{r), q = ^cA(r), g = ya4 <>’)••• les équations d’utilité de (A), (B), (G), (D)... pour féchangeur(I ) supposées résolues par rapport aux quantités et non plus par rapport aux raretés. On aurait après l’écliange :

^/a.l -}“ a;’i =: v„.i ( rfi.i), qx>A y'i = yb.i (r'b.i), qcA + \ = vc,i (c^',1 ),

<7,1.1 -fto'i = Vd,i(r'a,i),

et, en outre, en vertu des conditions d’équivalence des quantités échangées et de satisfaction maxima (118) :

qa.i -1- p' hqh.i -\-p'cAJc.i “h p'dqd.i

= V'a.1(>’^l.l) + P^)^^b.1(p^a’^l,1)-Hp^•V^■,1(p'cr'a.1)-(-/y,,V,l.1(p',ir'a,1)

Cette dernière équation donne r'a.i. Au moyen de r'a.i, on a r'a.i... et, par suite, x'i, ;/'i, c'i, le'i... les seules marchandises à conserver ou à acquérir étant celles pour lesquelles l’intensité du premier besoin à satisfaire est plus grande que le produit du prix par r'a.i.

Si r'a,i est plus grand que l’intensité du premier besoin de (A), l’échangeur (1) ne demande on ne garde pas de la marchandise numéraire.

123. Les équations de demande ou d’offre de (A), (B), (G), (D)... par les échangeurs (1), (2), (3)... étant, par hypothèse, disposées convenablement pour satisfaire aux restrictions qui précèdent, désignons par X, Y, Z, W... les sommes .ri

-|- a’3 -f ... !ji d- ;/‘2 + ,'/3 + • • • '1 + - 2 + + • • • *'’i + ^^'2 + ie:i

+ ••• et par Fb, Fc, F,i... les sommes des fonctions fb.-i, fwi, /b,:î... fcA, fc.2, u.\, f\wi, La condition d’égalité de l’offre

et de la demande des marchandises (A ), ( B), (C), (D)... s’exprimant, dans le cas général qui nous occupe, par les équations X=0, A’ = 0, Z = 0, W = 0... nous avons, en vue de la détermination des prix courants d’équilibre, les équations

Fb(>b, Pc pa)... — 0,

Fc(pb, Pc, pü...)-=0,

F,i(pi„ Pc, pd...)-=0,

soit m — 1 équations. Il est d’ailleurs évident que,pb, Pc, pa... étant essentiellement positifs, s’il est satisfait à ces équations, c’est-à-dire si l’on a Y = 0, Z = 0, \Y = 0... on aura aussi

X = — ph -t“ Zpc, -j- AYp,i 0.

124. Ainsi se détermineraient mathématiquement lesm — 1 prix de m — 1 d’entre les m marchandises en la m'èi'ie prise pour numéraire par la triple condition : l"que chaque échangeur obtint la satisfaction maxima de ses besoins, les rapports des raretés étant égaux aux prix ; 2» ([ue chacun dût recevoir

en proportion de ce qu’il donne ou donner en proportion de ce qu’il reçoit, n’y ayant pour chaque marchandise qu’un seul prix en le numéraire, celui pour lequel la demande totale effective serait égale à l’oft’re totale effective ; 3" qu’il n’y eût pas lieu à arbitrages, le prix d’équilibre de deux marchandises l’une en l’autre étant égal au rapport des prix d’équilibre de l’une et l’autre en une troisième quelconque. Voyons à présent comment ce même problème de l’échange de plusieurs marchandises entre elles, dont nous venons de trouver la solution scientifique, est aussi celui qui se résout empiriquement sur le marché par le mécanisme de la concurrence.

125. Et d’abord, sur le marché, on réduit précisément, par l’adoption d’un numéraire, les m (m — 1) prix des m marchandises entre elles aux m — 1 prix de m — 1 d’entre elles en la Celle-ci est le numéraire ; et, quant aux {m — 1) (m — 1) prix des autres entre elles, ils sont censés égaux aux rapports des prix des marchandises en le numéraire, conformément à la condition d’équilibre général. Soient p'b, 2>'c, p'd... m — 1 prix de (B), (C), (D)... en (A) criés de la sorte, au hasard. A ces prix ainsi criés, chaque échangeur détermine sa demande ou offre de (A), (B), (C), (D)... Cela se fait après réflexion, sans calcul, mais exactement comme cela se ferait par le calcul en vertu du système des équations d’équivalence des quantités demandées et offertes et de satisfaction maxima complété par les restrictions convenues. Soient x'\, x'-i, x'i... y'i, y' 2, y' -A... z'i, z'-i, z'a... w'\, iv'-z, w'a... positifs ou négatifs, les demandes ou offres partielles correspondant aux prix p’h, p'c, p'i\... Si la demande et l’offre totales de chaque marchandise étaient égales, c’est-à-dire si on avait immédiatement A" = 0, Z'=Ü,W'=0... et, par suite, X'=0, l’échange se ferait à ces prix et le problème serait résolu. Mais, généralement, la demande et l’offre totales de chaque marchandise seront inégales, c’est-à-

dire qu’on aura Y' ^ Oj ^ ^ P®’’ suite, X' ^ 0. . .

Ce cas échéant, que fait-on sur le marché? Si c’est la demande qui est supérieure à l’offre, on fait la hausse du prix de la mar-

chandise en le numéraire ; si c’est l’offre qui est supérieure a la demande, on fait la baisse. Que faut-il donc prouver pour établir que la solution théorique et la solution du marché sont identiques? Tout simplement que la hausse et la baisse sont un mode de résolution par tâtonnement du système des équations d’égalité de l’offre et de la demande.

12(). Rappelons qu’on a l’équation

X' + Y>'b + rp'c + w'p',1 + . . . = 0

qui, en appelant D'a, D'b, DV, D'a... la somme desx, y, z, w... positifs etO'a, O'b, O'c, O'd... la somme des .r, //, z, w... négatifs pris positivement, correspondant aux prix p'b, p'c,p\\... peut être mise sous la forme

et remarquons que, p'h, p'cP'a--- étant essentiellement positifs, si, parmi les quantités X' = D'a — O'a, Y' — D'b — O'b, Z' = D'c — O'c, W'=: D'd — O'd... certaines sont positives, les autres sont négatives, et réciproquement; c’est-à-dire que si aux prix p\, p'c, p\\.-- la demande totale de certaines marchandises est supérieure à l’offre, l’offre des autres marchandises est supérieure à la demande, et réciproquement.

Pli. Maintenant prenons l’inégalité

tion Fb, ni les fonctions Jb et /?b’, mais de la nature même du fait de l’échange, tel que nous l’avons étudié, nous pouvons tirer, relativement à ces fonctions, des indications suffisantes pour montrer comment, dans l’opération dont il s’agit, pb doit rencontrer, s’il on existe, une valeur qui fasse passer la première par zéro, ou qui amène les deux dernières à l’égalité.

128. En ce qui concerne d’abord la fonction Jb, celle de demande de (B) en (A), (G), (D)... elle est positive pour pb = 0, c’est-à-dire pour des prix nuis de (B) en (A), (G), (D)... En effet, à ces prix, la demande totale effective de (B) est égale à l’excédent de l’utilité totale extensive sur la quantité totale possédée, excédent positif si la marchandise (B) est rare et fait partie de la richesse sociale, pb croissant et, avec lui, tous les prix de (B) en (A), (G), (D)... proportionnellement, la fonction est décroissante, vu qu’elle est une somme de fonctions décroissantes. Alors, en effet, la marchandise (B) devient de plus en plus chère par rapport aux marchandises (A), (G), (D)... ; or il est inadmissible que, dans cette hypothèse, et toutes choses restant égales d’ailleurs, sa demande augmente ; elle ne peut que diminuer. On peut d’ailleurs toujours supposer une valeur de pb assez grande, fût-elle infinie, c’est-à-dire des prix de (B) en (A), (G), (D)... assez élevés, pour que cette demande soit nulle.

En ce qui concerne ensuite la fonction ÎJh, celle d’offre de (B) contre (A), (G), (D)... elle est nulle pourpb=0, ou même pour certaines valeurs positives depb, c’est-à-dire pour des prix nuis ou même positifs de (B) en (A), (G), (D)... En effet, de même qu’on peut toujours supposer des prix de (B) en (A), (G), (D)... assez élevés pour que sa demande soit nulle, on peut aussi toujours supposer des prix de (A), (G), (D)... en (B) assez élevés pour que leur demande soit nulle, auquel cas l’offre de (B) est nulle, pb croissant et, avec lui, tous les prix de (B) en (A), (G), (D)... proportionnellement, la fonction est successivement croissante et décroissante, vu qu’elle est une somme de fonctions successivement croissantes et décroissantes. Alors, en effet, les marchandises (A), (G), (D)... deviennent de moins en

et mettons-la sous la forme

la fonction Jb représentant la somme des y positifs, soit Db, et la fonction /A, la somme des y négatifs prix positivement, soit Ob. Faisons abstraction depcpa... et cherchons, ces prix étant supposés déterminés, etpb restant seul à déterminer, comment il faut faire varier pi, entre 0 et l’intini pour que la demande de (B) soit égale à l’offre. Nous ne connaissons pas la fonc-

moins chères par rapport à la marchandise (B), et les demandes de ces marchandises se produisent successivement en meme temps que l’offre de (B) qui les accompagne. Mais cette oürt n’augmente pas indéfiniment ; elle passe par un maximum au moins, lequel ne peut être supérieur à la quantité totale possédée ; puis elle diminue pour redevenir nulle si p., devient

infini, c’est-à-dire si (A), (C), (D)... sont gratuites.

1^9 Dans ces conditions, et à moins que Db ne devienne nul avant que Oi, ait cessé de l’être, cas auquel il n’y a pas de solution, mais qui ne se présente pas quand, parmi les echancreurs, il V en a qui sont porteurs de plusieurs marchandises, ü exis’te une certaine valeur de pb pour laquelle Ob et Db sont égaux Pour trouver cette valeur, il faut augmenter p b si, au prixp'b,l’onaY'>0, soitD'b>0'b, et diminuer p'b si, au prix p'b, l’on a Y'<0, soit 0'b> D'b- On obtient ainsi l’equation

Fb(p"b, p'c, p'd.--) = 0- Cette opération effectuée, l’inégalité

est devenue

mais on peut obtenir l’équation

Fc(p"b, p"c, p'd-)^<‘

en augmentant ou diminuant p'c suivant qu’au prix p c Z'>0, soit D'c>0'c, ou Z'<0, soit 0'c>D'c.

On obtient de même l’équation

Fd(p"b, p"c, p"d...)^o;

et ainsi de suite.