Mais soient cc ^ l, Da^ Ua, eib

amener l’égalité de l’offre et de la demande de chacune de ces

deux marchandises? .

La première ulée qui se présente est de reprendre .ci purement et simplement le laisonnement que nous avons lait a la bom-se à pi'o|.os de la .-ente. Ce se.-ail une très g.-osse enenr. Mous avions à la bou.-se des acl.eteui-s et des vendeuis ce lente c'est-à-dire, de litres dont la valeur dépend a la lois du monlànl de leur revenu particulier et du laine général du revenu par rapport au capital. Comme nous le verrons plus tard ...le hausse dans le prix de la rente ne pouvait que diminuer la demande et a.ign, enter l'olïre ; une baisse ne pouvait

qu'augmenter la demande et diminuer l’offre. Ici, nous avons des échangeurs de (A) et de (Bj que nous supposons être deux marchandises d’une utilité directe, seules en présence l’une de l’antre sur le marché. Or cette circonstance modifie tout.

Sans doute, il faudra toujours faire la hausse de jia (ou la baisse de ph) si Da est plus grand que Oa, ou faire au contraire la hausse depb (ou la baisse de jJa) si c’est Db qui est plus grand que Ob. Sans doute aussi, pour ce qui concerne la demande, le raisonnement précédent subsistera. Lorsque le prix augmente, la demande ne peut pas augmenter, elle ne peut que diminuer. Et lorsque le prix diminue, la demande ne peut pas diminuer, elle ne peut qu’augmenter. Supposons, en effet, que l’échangeur qui fait offrir 5 hectolitres de blé contre 10 hectolitres d’avoine, c’est-à-dire qui demande 10 hectolitres d’avoine au prix de 0.50 en blé, soit un porteur de 12 hectolitres de blé. A ce prix de 0.50 de l’avoine en blé, il pourrait acheter 24 hectolitres d’avoine ; mais son besoin de blé l’oblige à se limiter à 10. Au prix de 0.60, il ne pourrait plus acheter que 20 hectolitres d’avoine; et l’on doit admettre que son besoin de blé l’oblige alors à se limiter à un chiffre tout au plus égal et plutôt inféi-ieur à celui de 10 qu’il pouvait atteindre quand il était plus lâche. Ainsi, une hausse de pa, qui .sera une baisse de pi,, ne peut que faire diminuer Da et augmenter Db; au contraire, une hausse de pb, qui sera une baisse de pa, ne peut que faire diminuer Db et augmenter Da. Mais que deviendront Oa et Ob? C’est ce qu’il n’est pas possible de dire. Oa est égal au produit de Db par pb. Or si l’un des deux facteurs, pi,, diminue ou augmente, l’autre facteur, Db, augmente ou diminue par cela seul. De même Ob est égal au produit de Da par pa. Or selon que p» augmente ou diminue, Da diminue ou augmente par cela même. Comment savoir, par conséquent, si l’on s’achemine vers l’équilibre?

LEÇON

Courbes de demande et d'offre elfectives. KtnhlUÿcment de Vêgalité entre l'offre et la demande.

<oAiM viKE ■ — Fait de la dimiimtiou de la demande ellective en raison /le r iiK^men^ - ^0,51. Courbes ou équations de . ematu e

I prix. - 52. Courbes ou équations de demande

' 53 Les courlies de demande sont eu meme tenqis coin bes

!Se. ol iWperbole^ de la quantité existante. - 55. Positmn mtermédiaire des courbes de demande entre les axes de cooi données et le.

pjipo 57 Solution géoniétri((ue par inscription dans les combes de

elfectives ou d’établissement des prix d équilibré.

49. Puisque nous considérons ici qu’il n’y a qu’un rapport indirect ou médiat entre le prix et l’offre effective, et que le rapport direct ou immédiat a lieu entre le prix et la demande effective, c’est ce dernier qu’il nous tant t'tudier.

Prenons, pour cela, un porteur de blé entre tous. Cet individu a du blé, mais il n’a pas d’avoine; il est désireux de garder une certaine quantité de blé pour lui, et disposé à en céder une certaine quantité en échange d’avoine pour ses chevaux. Quant aux quantités respectives qu’il gardera et qu’il cédera, elles dépendront du prix de l’avoine et de la quantité d’avoine qu’il demandera eu égard à son prix. Gomment cela? C’est ce qu’il faut voir. Eh bien, au prix de zéro (s il faut donner zéro hectolitre de blé pour avoir I hectolitre d’avoine, autrement dit, si l’avoine est gratuite), notre homme demandera de l’avoine à discrétion, c’est-à-dire en quantité sutüsante pour tons les chevaux qu’il a et même pour tous ceux qu il peut avoir dans l’hypothèse où les chevaux ne coûtent rien à nourrir. 11 n’aura d’ailleurs aucune quantité de blé à donner

en échange. Aux prix successits de :jqq > ô "■

hectolitre de blé pour avoir 1 hecto

litre d’avoine), il réduira de plus en plus sa demande. Aux prix de 1, 2, 5, 10... (s’il faut donner 1, 2, 5, 10... hectolitres de blé pour avoir 1 hectolitre d’avoine), il la réduira encore davantage. D’ailleurs la quantité de blé offerte pai* lui en échange sera toujours égale au produit de la quantité d’avoine [lar lui demandée et du prix de cette avoine. Enfin, à un certain prix plus ou moins élevé, au prix de 100 par exemple (s’il faut donner 100 hectolitres de blé pour avoir 1 hectolitre d’avoine), notre homme ne demandera plus du tout d’avoine, parce que, à ce pri.\-là, il ne [lourra plus ou ne voudra plus nourrir un seul chej’al. 11 est claii‘ d’ailleurs qu’à ce moment il n’offrira plus aucune quantité de blé en échange. 11 est donc bien exact que, dans tout cela, la demande effective d’avoine diminue toujours au furet à mesure que le prix augmente: elle part d’un certain clnffre, au prix de zéro, pour aboutir à zéro, à un certain prix. Quant à l’offre effective correspondante de blé, elle part de zéro, augmente, touche à un maximum au moins, puis diminue et revient à zéro.

50. Tous les porteurs de blé, et non seulement tous les porteurs de blé d’un côté, mais tous les porteurs d’avoine de l’autre, sont dans des dispositions non pas semblables, mais analogues. Et, d’une façon générale, tout porteur d’une marchandise quelconque qui se rend sur le marché pour y échanger une certaine quantité de cette marchandise contre une certaine quantité de quelque autre marchandise y porte des dispositions à l’enchère, ou virtuelles ou effectives, susceptibles d’une détermination i-igoureuse.

Tout porteur (1) d’une quantité qh de marchandise (B), dirons-nous pour passer aux notations algébriques, qui se rend sur le marché pour y échanger une certaine quantité Ob qu’il offrira de cette marchandise contre une certaine quantité da qu’il demandera de la marchandise (A), suivant l’équation

menées par les points p'a, j/'a... je porte, à partir de ces points, <Ies longueurs p"aa"i... correspondant aux quantités

respectives d’avoine ou de (A) qui seront demandées aux |)rix respectifs p'a, p"n... La longueur Oa,,.i représentera le prix auquel notre porteur de blé ou de (B) ne deinandei‘a plus <l’avoine ou de (A).

Cela fait, les dispositions à l’enchère du porteur (1 ) de (B) sont exprimées soit géométriquement parla courbe a, ta «p.i menée par les points Ud.i, a'i, soit algébriquement par

l’équation da = /'aq(pa) de cette courbe. La courbe 0,1.1 a,,, i et l’équation <ln = fviA( Pa) sont empiriques. On obtiendrait de la même manière les courbes o,i,20p.->, Od.aOp.a... ou leurs équations da=/a.-2(pa), dn = faMp^)--- exprimant géométriquement ou algébriquement les dispositions à l’enchère de tous les autres porteurs (2), (3) ... de (B).

•V2. Si maintenant on ajoute, pour ainsi dire, toutes ces courbes partielles a,i.iO|,.i, oa.oOp.-i, o,i,30p,;i... les unes aux autres, en additionnant toutes les ordonnées pour une même abscisses, on obtient une courbe totale A,iAp (Fig. 2) exprimant géométriquement les dispositions à l’enchère de tous les porteurs de (B). Ou bien si on ajoute toutes les équations partielles, on obtient une. équation totale

en reviendra rapportant une quantité d„ de (A) et une quan- H.. — de ( Bn D’une manière ou d’um

autre, il v aura toujours

la relation

Notre homme sait ce qu’est fjb- H ne sait pas.

mais

qu’il le saura dès en arrivant et que, ceue xaicu. uc

fois connue, il devra immédiatement adopter une certaine ^a-

leurdedade laquelle finalement résultera une certaine valeur

de y en vertu de l’équation ci-dessus.

Si notre homme va lui-même sur le marché, il peut laisser ses dispositions à l’enchère à l’état virtuel et non effectit, c’est-à-dire ne déterminer sa demande da que le prix pu une fois connu. Même alors ces dispositions n’en existent pas moins. Mais si, par exemple, il était empêché de se rendre en peisonne sur le marché, ou si, pour une raison ou pour une autre, il devait donner sa commission à un ami ou ses ordres à un agent, il devrait prévoir toutes les valeurs possibles dep,., depuis zéro jusqu’à l’infini, et déterminer en conséquence toutes les valeurs correspondantes de d,,, en les exprimant dune manière quelconque. Or toutes les personnes quelque peu hnt.it.ipps an calcul savent qu’il va un double moyen de four-

exprimant algébriquement ces mêmes dispositions. Ce sont la t'ourhe ou Véquatwn de demande de (A) en (B) en fonction du prix de (A ) en (B). On aurait de même la courbe ou l’équation de demande de (B) en (A) en fonction du prix de (B) en (A).

Rien n’indique que les courbes ou les équations partielles «.1.1 «p.i, d;i = /liu ( pa) et autres soient contimies, c’est-à-dire qu’une augmentation infiniment petite de pa y produise une diminution infiniment petite de da. Au contraire, ces fonctions seront souvent discontinues. Pour ce qui concerne l’avoine, par exemple, il est cei tain que notre premiei- porteur de blé réduira sa demande non pas au fur et à mesure de l’élévation du prix, mais d’une façon en quelque sorte intermittente cha-

que Ibis qu'il se décidera à avoir un cheval de moins dans son écurie. Sa courbe de demande partielle aura donc en réalité la forme de la courbe en escalier passant au point a (Fig. 1).

Il en sera de même de tous les autres. Et cependant, la courbe totale A.iAp (Fig. 2) peut, en vertu de la loi dite des grands nombres, être considérée comme sensiblement continue. En etïet, lorsqu’il se produira une augmentation très petite du prix, Fun au moins des porteurs de (H), sur le grand nombre, arrivant à la limite qui l’oblige à se priver d’un cheval , il se produira aussi une diminution très |ietite de la demande

totale.

.53. Dans ces conditions, la courbe A,iA,, donne donc la quantité elTectivement demandée de (A) en fonction du prix (le (A). Par exemple, pour un prix pa.m, représenté par l’abscisse Opa.m du point A„>, la demande etfective est Da.m, représentée par l’ordonnée ODa.m du même point Am. D ailleurs, lors(pie la demande etfective de (A) en (B) sera Da.m, au prix pa.m, l’otïre etfective de (B) contre (A) sera, par cela même, Oi,,m = Da,inPa.m(45), représentée par le rectangle ODa.m A mPa.m des coordonnées ODa.m, Opa..n, en sa surface. Ainsi la courbe A,i Ap donne à la fois la demande de (A) et l’olfre de (B) en fonction du prix de (A) en (B). De même la courbe B,i B,, donne à la fois la demande de (B) et l’olfr’e de (A) en tonction du prfx de (B) en (A).

.54. Soit Qi, la quantité totale de (B) existant sur le mar-ché (Mitr'e les mains des porteui's de cette mara^handise, et soit la coLir-be passant au point Qi, l’hyperbole é<iuilatèr-e rapportée à ses asymptotes dont l’équation est xg — Qh. Pr’olongeons la ligne pa.m A,,, jusqu’à la rencontr-e de cette hyperbole au point Ob, et menons la pai\allèle à l’axe des æ ou des prix /9Qb. La surface Qi, du r-ectangle 0/9QbPa.m i-eprésente la quantité totale de (B) apportée sur' le mar-ché ; la surface Da.mPa.m du r ectangle ODa.m AmPa.m r'eprêsente la portion qui serait cédée en échange de (A) au prfxpa.m ; et, par corrséquent, la sur-face Y du rectangle Da.m/9Qb .Vm, soit Or, — Da.m pa.m, r-epr-ésente la potfion ([ui ser-ait remportée du marché et gar-dée parles por-

teut-s arr mêtrre prix pa.m. Or*, de toute marrièr-e, on aura toujours, entr-e les quantités Qi„ pa, Da et Y, la r*elatiotr

Qb = ^ -j-flaPa.

Airrsi, xg = ()h, ou la courbe passant au point Qb, étant Vhgjjerbolc de la quantité existante de (B), AdAp est la courbe de patfage de cette quairtité en portion à céder contr-e (A) et por*tion à garder suivant les pr-ix de (A) en (B). On ti'ouver'ait rraturellement le même rapport entre la courbe Bj Bp et l’hyperbole de la quantité existante de (A) dorrt l’équation ser-ait xr/ = Q;,.

.55. Les courbes de deurande sont donc eirferrnées dans les hyperboles de la quarrtité. On peut dii-e aussi qtte génér’alement ces courbes coirpent les axes de coot*dotrnées et ne leur sont pas asyrrrptotes.

Elles coupent génér-alernent l’axe des deirrandes. En etfet, la quantité d’tiire marchandise quelconque denrandée par uir itrdividu au pr-ix de zér*o est génér-alenieirt lirrie. Si l’avoine était gr atuite, certains irrdividirs auraient peut-être des dizaiires ou des cerrtaines de chevaux ; mais ils ir’en arrraient pas un rrorrrlrr-e intirri, et par conséquent rre demandei’aierrt [ras une quantité itrfirrie d’avoine. Or la somme totale des demandes au pr-ix de zéro, étant la somme de quantités tiiries, ser*ait ellemême une quantité finie.

Elles coupent généralement l’axe des prix. En etfet, on peut génér-alemeirt supposer un prix assez élevé, mais non iirfini, auquel une mar-chandise quelconque rr’est plus demandr^e par personne même err quarrtité infirrirrrent petite. Et toutefois orr ne peut, en somnre, rierr énoncer d’absolu à cet égai'd. C’est iirr cas qui peut parfaitenrent se pr*ésenter que celui où la mar-chandise (B) s’ofiVe à tout prix, soit en totalité soit en par-tie, et où par corrséquerrt la courbe de demairde A.iAp se confond, en tout ou partie, avec l’hyperbole passant en Qb ou avec quelque autr-e hyperbole irrtérieur-e. C’est pour-quoi, afin de rre r ien prtquger, nous considérei-otrs les courbes de demande comme susceptibles de pi’endi’e toutes les positiorrs entr-e les axes de coor-dotrnées et les hyperboles de la quantité existarrte.

5G. Nous connaissons la natui-e du rapport direct et immédiat qui lie la demande elïéctive d’une marchandise à son prix en une autre marchandise, et nous concevons une expression mathématique de ce rapport.

Ainsi, pour la marchandise (A), ce rapport serait exprimé géométriquement par la courhe AdAp, ou algébriquement par l’équation de cette courbe

Da = Fa(pa)(Ô2).

Pour la marchandise (B), il serait exprimé géométriquement par la courbe BaBp, ou algébriquement par l’équation de cette courbe

Db = Fb(pb).

De plus, nous connaissons également la nature du rapport indirect et médiat qui existe entre 1 offre elTective d une niaichandise contre une autre marchandise et le prix de cette autre en la première, et nous concevons également une expression mathématique de ce rapport.

Pour la marchandise (A), le rapport dont il s’agit serait exprimé géométriquement par la série des rectangles inscrits dans la courbe B,|B,,, ou algébriquement par l’équation

Ü;i = DbPb = Fb(pb)pb(od).

Pour la marchandise (B), il serait exprimé géométriquement par la série des rectangles inscrits dans la courbe AdAp, ou algébriquement par l’équation

Ob = DaPa=Fa(Pa)Pa.

Bien de plus aisé d’ailleurs que de déduire de ces dernières expressions celles du rapport qui lie l’offre effective de chaque marchandise à son propre prix en l’autre marchandise. Il n’y a qu’à remplacer, dans les deux dernières équations, le prix

Pp par -i— et le prixpa par — en vertu de la relation papb= 1-

pa Ph

Il vient alors

deux marchandises l une en Vautre^ ou les équations de ces courbes, à déterminer les prix respectifs d’équilibre.

bl . Géométriquement, le problème consiste à inscrire dans les deux courbes AdAp, Bd Bp deux rectangles à bases réciproques, ODa Apa, ODb Bpb, tels que la hauteur de l’un ODu soit égale a la surface de l’autre ODbXOpb, et que, inversement, la hauteur du second ODb soit égale à la surface du premier ODaXOpa. Les bases de ces deux rectangles, Opa, Opi„ représenteront les prix d’équilibre puisque, à ces prix respectifs, la demande de (A) représentée par la hauteur ODa sera égale à

Elle part de zéro pour un prix infiniment grand de (A) en (B), correspondant à un prix infiniment petit de (B) en f A), c’est-àdire qu’elle est asymptote à l’axe des prix. Elle s’élève au fur et à mesuie qu elle se rapproche de l’origine, pour des prix décioissants de (A) en (B) correspondant à des prix ci'oissants de ( B) en ( A). Elle atteint un niaximum L dont l’abscisse représente un prix de ( A) en (B) inverse d’un prix de (B) en (A)iJb..i. représenté par l’abscisse du point B,„ et pour lequel le

lectangle inscrit en BjBp est maximum. Puis elle s’abaisse en se iap[)iochant encore de l’origine pour revenir à zéro pour un prix de (A) en (B) représenté par OK inverse du prix de (B) eu (A) représenté par OBp abscisse du point B,, oii la courbe B,|B|, coupe l’axe des prix.

De même la seconde courbe, XPQ, est la courbe d’offre de (B), non plus confondue avec la courbe de demande de (A) et donnant l’olïre de (B) par les surfaces des rectangles des coordonnées en fonction de pa, mais distincte et donnant cette offre de ( B) par les longueurs des ordonnées en fonction de ph.

Elle part de zéro pour un prix infinirnentgrand de (B) en (A), correspondant à un prix intiniinent petit de (A)en (B), c’est-àdire (|u’elle est asymptote à l’axe des prix. Elle s’élève au fur et a mesure qu’elle se rapproche de l’origine pour des piix décroissants de (B) en (A) correspondant à des piâx croissants de ( A) eu ( B). Elle atteint un maximum P dont l’abscisse représente un prix deClDen (A) inverse d’un prix de ( A) en (B) jOa.n, lepiésenté par 1 ab.scisse ü/)a.m du point Am et pour lequel le rectangle insci-it en A.iA,,esf maximum. Puis elle s’abaisse en se l'approchant encore de l’origine pour revenir à zéro pour >111 prix de ( B) en { A) représenté par ÜX inverse du prix de (A ) en (B) représenté par OA,, aliscisse du point A,, oii la courbe A,i Ap coupe l’axe des jirix.

Il va .‘<ans dire que cette foi'ine des coui'bes KLM, XPQ est essentiellement relative à la forme des courbes B,|B,„ A,iA,,. G(‘S dernières étant suppo.sées autres qu’elles ne sont, les preiiiières seraient elles-mêmes entièrement différentes. Quoi qu’il en soit, dans les données nui sont les nôtres. enm-hp n,]i

rapport des hauteurs et directement égales au rapport des surfaces.

ü8. Algébriquement, le problème consiste à trouver les deux racines p», pu des deux équations

ou les deux racines ga, Pb des deux équations

Ea(pa)pa= Fb(Pb), Pu7>h= • l

ou enfui les deux racines pa, pbdes deux équations

VpiQ pi.

exprimant queUi,— Dt,.

Les deux méthodes, au surplus, peuvent se combiner en une seule. Nous avons déjà les courbes

Da = Fa(Pal, Db = Fb(pi.);

ce sont les courbes A, i A, „ BaB,,. Contruisons les courbes

ce seront les courbes KL.M, XPQ dont les imerseüuuiis, ct^cL, IM'emières, aux points A et B, fourniront précisément lesiec-

tangles dont il a été pai'lé ci-dessus.

Il est facile de se rendre compte de ce que sont ces courbes KLM, XPQ, qui sont poiiitillées sur la figure, et de la manière

dont se fait leur construction.

La première, KLM, est la courbe d’offre de (A), non plus confondue avec la courbe de demande de (B) et donnant 1 otfre de (A) par les surfaces des rectangles des coordonnées en tonction de pb, mais distincte et donnant cette otfre de (A) par les longueurs des oi'données en fonction de pa-

encontre en Rabaissant, après avoir pass,t le 1>““‘

,„u,n lt,„, la courbe pobtlillée NPO au montent

Rélève de réro à son 1> ; et, par conséquent, la cou.

V \ renco,.tre en Rabaissant elle aussi, «r«nt de passer pa ,e poi;,t de n>ax,,nu,n A,„, la courbe pointillée KLM au n.o.nent

OÙ cette courbe s’abaisse de son maximum ha .no

Oü Or d’après toutes ces dispositions, il est évident que si au point’A les deux eou.-bes A.,A„ et KLM se .■enconWnt « droite ou à gauche de ce point, an cont.aire, la com be A,, A,. it artériel ou supérieure à la courbe KLM ; et que de inen.e fan point II les deux courbes B„ U„ et NPQ se ■■ènconlrent . droite ou à garu-ke de ce point, au contraire, la courbe B„ B,, e.t inférieure ou supérieure à la courbe NPQ-

Aiusi les prix Pa = ^et pu=n étant, par hypothèse, ceux

pour lesquels Da = O. et O. = D. , pour tous les pnx de (A) ^ (B, supérieurs à p. correspondant inférieurs à pu, on aura à la lois Oa> Da et üb> >

traire pour tous les prix de (A) en (B) intérieurs a pa, cône pondant à des prix de (B) en (A) supérieurs a p,, on auia a x fois D . > O t et Ob > Db. Dans le premier cas on n’arri verait ai prix d’équilibre que par une hausse de pi, qm serait une baissi dlpa dLs le second on n’y arriverait que par une hausse de

r>M nui serait une baisse de

Ceci nous amène à fo. i.n.let en ces tennes la lo, de o jre e de Ut detnande eireCires. on toi d étaUissemcü des prix d o,p. lilre, dans le cas de l’échange de denx raa.rhandises e. l.e «lies ■ - Deux marchaudises étant données, pour gu li , a.

éguitibre du marché à J.r

en Vautre, il faut et il suffd gue la demande ^

cune de ces deu.c marchandises soit égale a son offte effecti . cette égalité dexiste pas, il faut, pour

d-éguilibre, une hausse du prix de la marchandtse

^ ' P -k/fV/j fitfpctîï'd ci UU6 hciissc du

mande elfectiee est supcrteure a loti, e elle , ,

prix de celle dont Voffre elfectiee est super, eure a la deniandc effective.

La loi est telle que nous eussions été tentés de la formuler immédiatement d’après l’étude du marché de la bourse (42) ; mais une démonstration rigoureuse était nécessaire (48).

(31. On voit clairement à présent ce qu’est le mécanisme de la concurrence sur le marché ; c’est la solution pratique, et par hausse et baisse des prix, du problème de l’échange dont, nous avons fourni la solution théorique et mathématique. On doit compi'endre d’ailleurs que notre intention n’est aucunement de substituer une solution à l’autre. La solution pratique est d’une rapidité et d’une sûreté qui ne laissent rien à désirer. On peut voir, sur de grands marchés fonctionnant même sans courtiers ni crieurs, le prix courant d’équilibre se déterminer en quelques minutes, et des quantités considérables de marchandise s’échangei- à ce prix en deux ou trois quarts d’heure. .\u contraire, la solution théorique serait, dans presque tous les cas, absolument impraticable, .■\ussi serait-ce nous faire une objection bien mal fondée que de nous parlei' de la difficulté d’établir les courbes d’échange ou leurs équations. L’avantage qu’il pourrait y «avoii-, dans certains cas, à dresser, en totalité ou en pai tie, la courbe de demande ou d’otîre d’une marchandise déterminée, et la possibilité ou l’impossibilité de le faire, est une question que nous réservons tout entièi-e. Poulie moment, nous étudions le problème de l’échange en général, et la conception pure et simple des courbes d’échange nous est à la fois suffisante et indispensable.

LEÇON

Discussion de la solation

du jiroblème de l'échange de deux marchandises entre elles

au cas où les courljes d’ollre maximum. — Gi. Les courbes s de demande ; pas de prix coucourbes d'oiïre coupent en trois points les courbes de

-GG, 07, 68. Deux prix d’équilibre stable ; 69. Une des deux courbes de demande