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Avec tous ces éléments, nous sommes en mesure de résoudre mathématiquement le problème général de l'échange de deux marchandises entre elles ainsi posé :

Etant données deux marchandises (A) et (B) , et les courbes de demande de ces deux marchandises Vune en l'autre, ou les équations de ces courbes, déterminer les prix respectifs d'équilibre,

57. Géométriquement, le problème consiste à inscrire dans les deux courbes A^ Ap , B^ B deux rectangles à bases réciproques, ODg A p^ , OD5 B /?b , tels que la hauteur de l'un OD, soit égale à la surface de l'autre OD^ X O/^b 1 et que, inversement, la hauteur du second ODj, soit égale à la surface du premier OD^ X Op^ . Les bases de ces deux rectangles, Op^ , 0/?^ , représenteront les prix d'équilibre puisque, à ces prix respectifs, la demande de (A) représentée par la hauteur OD^ sera égale à l'offre de (A) représentée par la surface ODj, x Op^ , et que la demande de (B) représentée par la hauteur OD5 sera égale à l'offre de (B) représentée par la surface OD^ X 0/?, (Al).

L'expression dont je me suis servi de hauteurs inversement égales à des surfaces n'est pas homogène. Mais cette homogénéité,

dans la circonstance , n'est pas nécessaire par la raison que la condition de réciprocité des bases implique la détermination de l'unité commune 01 qui a servi pour la construction des deux courbes. On pourrait dire cependant , si on tenait à la faire apparaître, que la hauteur de chaque rectangle doit contenir Tunilé autant de fois en longueur que la surface de l'autre la contient de fois en surface; ou, autrement encore, que la surface de chaque rectangle doit être égaie à la surface du rectangle construit sur la hauteur de l'autre et l'unité pour base. Il va de soi d'ailleurs, dans les données du problème, que les bases des deux rectangles sont inversement égales au rapport des hauteurs et directement égales au rapport des surfaces.

58. Algébriquement, le problème consiste à trouver les deux racines jOj^ , p^^ des deux équations

ou les deux racines p^ , j»,, des deux équations

ou enfin les deux racines p^ , p^^ des deux équations

exprimant que D^^ = 0^^ , et

'•("it) ;^ = ^»(7'b),

exprimant que 05 = 0^.

59. Les deux méthodes, au surplus, peuvent se combiner en une seule. Nous avons déjà les courbes

D. = F.(/'.), Dt = F,{;,J;

ce sont les courbes Aj A ,8^8^. Construisons les courbes

ce seront les courbes KLM, NPQ dont l'intersection avec les pre-

mières, aux points A et B-, fournira précisément les rectangles dont il a été parlé ci-dessus.

Il est facile de se rendre compte de ce que sont ces courbes KLM, NPQ, qui sont pointillées sur la figure, et de la manière dont se fait leur construction.

La première KLM est la courbe d'offre de (A) , non plus confondue avec la courbe de demande de (B) et donnant Toifre de

(A) par les surfaces des rectangles des coordonnées en fonction de jD|^ , mais distincte et donnant cette offre de (A) par les longueurs des ordonnées en fonction de p^ .

Elle part de zéro pour un prix infiniment grand de (A) en (B), correspondant à un prix infiniment petit de (B) en (A), c'est-àdire qu'elle est asymptote à Taxe des prix. Elle s'élève au fur et à mesure qu'elle se rapproche de l'origine , pour des prix décroissants de (A) en (B) correspondant à des prix croissants de

(B) en (A). Elle atteint un maximum L dont l'abscisse est un prix de (A) en (B) inverse d'un prix de (B) en (A) p^„^ qui est lui-même l'abscisse du point B„ pour lequel le rectangle inscrit en Bj B est maximum. Puis elle s'abaisse en se rapprochant encore de l'origine pour revenir à zéro pour un prix OK de (A) en (B) inverse du prix OBp de (B) en (A) abscisse du point B^où la courbe Bj Bp coupe 1 axe des prix.

De même la seconde courbe NPQ est la courbe d'offre de (B), non plus confondue avec la courbe de demande de (A) et donnant l'offre de (B) par les surfaces des rectangles des coordonnées en fonction de p^ , mais distincte et donnant cette offre de (B) par les longueurs des ordonnées en fonction de p^^ .

Elle part de zéro pour un prix infiniment grand de (B) en (A) correspondant à un prix infiniment petit de (A) en (B), c'est-àdire qu'elle est asymptote à Taxe des prix. Elle s'élève au fur et à mesure qu'elle se rapproche de l'origine pour des prix décroissants de (B) en (A) correspondant à des prix croissants de (A) en (B). Elle atteint un maximum P dont l'abscisse est un prix de (B) en (A) inverse d'un prix de (A) en (B) jd^ „ qui est lui-même l'abscisse du point A„ pour lequel le rectangle inscrit en A^ Ap est maximum. Puis elle s'abaisse en se rapprochant encore de

Torigine pour revenir à zéro pour un prix ON de (B) en (A) inverse du prix OAp de (A) en (B) abscisse du point Ap où la courbe A^ Ap coupe Taxe des prix.

Il va sans dire que cette forme particulière des courbes KLM, NPQ est essentiellement relative à la forme particulière des courbes B^ Bp , A^ Ap . Ces dernières étant supposées autres qu'elles ne sont, les premières seraient elles-mêmes entièrement différentes. Quoi qu'il en soit, dans les données qui sont les nôtres, la courbe B^j Bp rencontre en s'abaissant, après avoir passé le point de maximum B„, la courbe pointillée NPQ au moment où cette courbe s'élève de zéro à son maximum F; et, par conséquent, la courbe A,, Ap rencontre en s'abaissant elle aussi, avant de passer par le point de maximum A„, la courbe pointillée KLM au moment où cette courbe s'abaisse de son maximum L à zéro,

60. Or, d'après toutes ces dispositions , il est évident que si au point A les deux courbes A^ Ap et KLM se rencontrent, à droite ou à gauche de ce point, au contraire, la courbe A^ A est inférieure ou supérieure à la courbe KLM; et que de même si au point B les deux courbes B^ Bp et NPQ se rencontrent, à droite ou à gauche de ce point, la courbe Bj Bp est, au contraire, tw/grieure ou supérieure à la courbe NPQ.

Ainsi les prix p^ = - et /?,, = fi étant, par bypothèse, ceux

pour lesquels D^ = 0^ et Oj, = D,, , pour tous les prix de (A) en (B) supérieurs à p^ , correspondant à des prix de (B) en (A) inférieurs à /^b , on aura à la fuis 0^ > D^ et D|, > Oj, . Et au contraire pour tous les prix de (A) eu (B) inférieurs à /), , correspondant à des prix de (B) en (A) supérieurs à;)^ » ^" ^"^^ ^ la fois Dj^ > 0. et 0^ > D^ . Dans \e premier cas on n'arriverait au prix d'équilibre que par une hausse de p^^ qui serait une baisse de;>. . Dans le second on n'y arriverait que par une hausse de p^ qui serait une baisse de /?(, .

Ceci nous amène à formuler en ces termes la loi de Voffre et de la demande effectives , ou loi d'établissement des prix d^équi^ libre, dans le cas de l'échange de deux marchandises entre elles :

— Deux marchandises étant données, pour quil y ait équilibre du marché à leur égard, ou prix stationnaire de l'une en Vautre , il faut et il suffit que la demande effective de chacune de ces deux marchandises soit égale à son offre effective. Lorsque cette égalité n'existe pasj il faut, pour arriver au prix d'équilibre, une hausse du prix de la marchandise dont la demande effective est supérieure à V offre effective, et une baisse du prix de celle dont V offre effective est supérieure à la demande effective,

La loi est telle que nous eussions été tentés de la formuler imnnédiatement d'après Tétude du marché de la Bourse (42) ; mais une démonstration rigoureuse était nécessaire (48).

61. On voit clairement à présent ce qu'est le mécanisme de la concurrence sur le marché : c'est la solution pratique , et par hausse et baisse des prix, du problème de l'échange dont nous avons fourni la solution théorique et mathématique. On doit comprendre d'ailleurs que notre intention n'est aucunement de substituer une solution à l'autre. La solution pratique est d'une rapidité et d'une sûreté qui ne laissent rien à désirer. On peut voir, sur de grands marchés fonctionnant même sans courtiers ni crieurs, le prix courant d'équilibre se déterminer en quelques minutes, et des quantités considérables de marchandise s'échanger à ce prix en deux ou trois quarts d'heure. Au contraire, la solution théorique serait, dans presque tous les cas, absolument impraticable. Aussi serait-ce nous faire une objection bien singulière que de nous parler de la difficulté d'établir les courbes d'échange ou leurs équations. L'avantage qu'il pourrait y avoir, dans certains cas, à dresser, en totalité ou en partie , la courbe de demande ou d'offre d'une marchandise déterminée, et la possibilité ou l'impossibilité de le faire, est une question que nous réservons tout entière. Pour le moment, nous étudions le problème de l'échange en général , et la conception pure et simple des courbes d'échange nous est à la fois suffisante et indispensable.

Discussion de la solution du problème de rechange de deux

marchandises entre elles.

SoMHAiRB : -^ Discussion restreinte au cas où les courbes de demande sont des courbes algébriques du second degré. Les courbes d'offre ne rencontrent pas les courbes de demande; pas de prix courant. Les courbes d'offre coupent en trois points les courbes de demande; trois prix courants. Deux prix d'équilibre stable; un prix d'équilibre instable. Une des deux courbes de demande se confond avec l'hyperbole de la quantité existante. Chacune des deux.

62. En résumé, deux marchandises étant données (Â) et (B), pour lesquelles le rapport entre la demande effective et le prix s'établit par les équations

le prix d'équilibre est fourni par la racine de Téquation

Da ». = Db »b ; soit, en remplaçant D^ et D^ par leurs valeurs,

qu'on peut mettre sous la forme

ou sous la forme

suivant qu'on veut en tirer p^ ou p^^ . La première de ces deux formes exprime que D^ = 0^ ; la seconde exprime que 0^ = Dj,. Nous avons résolu l'équation sous ses deux formes (59) par l'intersection des courbes