F.{^), 0. = F,(-^^^, et des courbes

Oi = F. (■^^, D, = F, (;,,);

mais il y a lieu de discuter cette solution.

63. Nous ne la discuterons pas pour tous les cas possibles, ce qui serait beaucoup trop long et d*ailleurs prématuré, mais seulement pour le cas général assez simple auquel se rapporte notre figure. Lorsqu'on cherche Téquation empirique d'une courbe par la méthode d'interpolation, on essaye successivement de l'obtenir algébriquement du premier, du second, du troisième degré, et ainsi de suite. Nous avons supposé, dans notre figure, les courbes A^ Ap , B^ Bp algébriques du second degré, par conséquent continues , et n'offrant aussi qu'un seul maximum pour les rectangles des coordonnées D^ p^ , D^, jd^ entre le point pour lequel D, = OA^ , j», = , et celui pour lequel p^ = OAp , Dg = 0, entre le point pour lequel D^ = OB^ , ;>j^ = 0, et celui pour lequel jO|, = OBp , D^, = . Nous n'avons d'ailleurs à considérer que la partie de ces courbes comprise dans l'angle des coordonnées positives, et, dans cet angle, que la partie comprise entre les points A^, et Ap , entre les points B^ et Bp . Cela ressort très évidemment de la nature même du fait de l'échange. Dans celte hypothèse , les courbes KLM, NPQ sont des courbes algébriques du troisième degré, continues, et n'offrant qu'un seul maximum pour les ordonnées. Or , même dans ce cas ainsi défini et limité, il y a matière à une discussion intéressante.

64. Nous av&ns raisonné comme si A^ Ap et KLM, d'une part, comme si B^ Bp et NPQ, d'autre part, ne se rencontraient qu'en un seul point A et en un seul point B. Mais tout d'abord il convient de remarquer que ces courbes pourraient ne pas se rencontrer du tout. Si, en effet, la courbe B^ Bp aboutissait à l'axe des prix en un point situé en deçà du point N , elle ne rencontrerait pas la courbe NPQ . Dans ce cas-là d'ailleurs la courbe KLM quitterait elle-même l'axe des prix en un point situé au delà

du point Âp , et elle ne serait pas rencontrée par la courbe Aj Ap . II n*y aurait pas de solution.

Cette éventualité n'a rien de surprenant. Elle correspond au cas où aucun porteur de (B) ne veut donner Ap de (B) pour 1

de (A), soit 1 de (B) pour t— de (A), tandis que, d'autre part,

Ap

aucun porteur de (A) ne veut donner a de (A) pour i de (B)^

soit 1 de (A) pour Ap de (B). Il est évident que, dans ce cas, les enchères n'auraient aucun résultat sur le marché. Si l'on mettait à prix au-dessous de Ap comme prix de (A) en (B), soit audessus de r~ comme prix de (B) en (A) , il y aurait bien des

^p demandeurs de (A) offreurs de (B), mais il n'y aurait pas de demandeurs de (B) offreurs de (A). Et , si l'on mettait à prix au-

dessous de "T~ comme prix de (B) en (A) , soit au-dessus de

^p Ap comme prix de (A) en (B) , il y aurait bien des demandeurs

de (B) offreurs de (A), mais il n'y aurait pas de demandeurs de

(A) offreurs de (B).

65. Maintenant, après le cas où il n'y a, entre les courbes de demande et les courbes d'offre, qu'un seul point d'intersection, et celui où il n'y a aucun point d'intersection , l'inspection attentive de la forme des courbes fait apercevoir le cas où il y aurait trois points d'intersection. Si, en effet, les deux marchandises (A) et (B) étaient telles que , la demande de (A) en (B) étant toujours exprimée par la courbe A,, Ap , la demande de

(B) en (A) le fût par la courbe B'^ B'p , cette courbe B'^ B'p serait rencontrée par la courbe NPQ en trois points B, B', B". Dans ce cas, à la courbe KLM d'offre de (A) contre (B) se substituerait la courbe K'L'M' laquelle rencontrerait elle-même la courbe A^ Ap en trois p^oints A, A', A", le point A correspondant au point B, le point A' au point B', et le point A" au point B". Il y aurait ainsi trois solutions différentes du problème de l'échange des deux marchandises (A) et (B) entre elles puisqu'il y aurait trois systèmes de chacun deux rectangles à bases réciproques, inscrits

dans les courbes A^ Ap , B'^ B'p et dont les hauteurs seraient inversement égales à leurs surfaces. Mais ces trois solutions ontelles la même valeur?

66. Parmi les trois systèmes, si nous examinons d'abord ceux qui se rapportent aux points A' et B', A" et B", nous nous retrouvons dans des conditions identiques à celles du système relatif aux points A et B dans le cas d'une solution unique (60). A droite ou à gauche du point A', où les deux courbes A,, Ap et K'L'M' se rencontrent, la courbe A^ Ap est inféneure ou supérieure à la courbe K'L'M'; et de même, à droite ou à gauche du point B', où les deux courbes B'^ B'p et NPQ se rencontrent, la courbe B'j B'p est inférieure ou supérieure à la courbe NPQ. A droite ou à gauche du point A" la courbe A,, A est inférieure ou supérieure à la courbe K'L'M' ; et, de même encore, à droite ou à gauche du point B" la courbe ^\ B'p est inférieure ou supérieure à la courbe NPQ.

Dans les deux cas, au-delà du point d'équilibre , l'offre de la marchandise est supérieure à sa demande, ce qui doit amener une baisse de prix , c'est-à-dire un retour vers le point d'équilibre. Dans les deux cas, en deçà du point d'équilibre, la demande de la marchandise est supérieure à son offre, ce qui doit amener une hausse de prix, c'est-à-dire un acheminement vers le point d'équilibre. On peut donc exactement comparer cet équilibre à celui d'un corps dont le point de suspension est au-dessus du centre de gravité sur une ligne verticale , de telle sorte que ce centre de gravité, s'il était éloigné de la verticale, y reviendrait de luimême par la seule force de la pesanteur. C'est un équilibre stable.

67. 11 n'en est pas de même des points A et B . A droite du point A la courbe Aj Ap est supérieure à la courbe K'L'M' , à gauche elle lui est inférieure. De même à droite du point B la courbe B'j B'p est supérieure à la courbe NPQ , à gauche elle lui est inférieure. Ainsi, dans ce cas, au-delà du point d'équilibre la demande de la marchandise est supérieure à son offre , ce qui doit amener une hausse de prix, c'est-à-dire un éloignement du point d'équilibre. Et, dans ce cas aussi, en deçà du point d'équi-

libre, Voffre de la marchandise est supérieure à sa demande^ ce qui doit amener une baisse de prix, c'est-à-dire encore un éioignement du point d'équilibre. Cet équilibre est donc exactement comparable à celui d'un corps dont le point de suspension est au-dessous du centre de gravité sur une ligne verticale, de telle sorte que , si ce centre de gravité vient à quitter la verticale, il s'en éloigne de plus en plus pour n'y revenir de lui-même, et par la seule force de la pesanteur, qu'en se plaçant au-dessous du point de suspension. C'est un équilibre instable.

68. En réalité, les systèmes A', B' et A", B" constituent donc seuls deux solutions du problème, et le système A,B ne marque que le point de séparation et la limite du champ respectif de chacune de ces deux solufions. Au delà de p^ le prix de (B) en (A) tend vers le prix d'équilibre p'\ , abscisse du point B" ; endeçà, il tend vers le prix p\ abscisse du point B'. Corrélativement, en deçà de p^ le prix de (A) en (B) tend vers le prix d'équilibre f^ , abscisse du point A" ; au-delà, il tend vers le prix p\ , abscisse du point A'.

Cette éventualité correspond, comme il est facile de le reconnaître, au cas où il se trouve , par la nature des marchandises, qu'une quantité relativement grande de (A) demandée à un prix relativement petit de (A) en (B) peut équivaloir à une quantité relativement petite de (B) demandée à un prix relativement grand de (B) en (A), en même temps qu'une quantité relativement petite de (A) demandée à un prix relativement grand de

(A) en (B) peut aussi équivaloir à une quantité relativement grande de (B) demandée à un prix relativement petit de (B) en (A). Alors, suivant que l'enchère commencera par un prix faible de (A) en (B) et fort de (B) en (A), ou par un prix faible de

(B) en (A) et fort de (A) en (B), elle aboutira au premier ou au second de ces deux équilibres. Théoriquement, nous sommes forcés d'admettre l'éventualité comme possible pour deux marchandises s'échangeant l'une contre l'autre en nature ; nous verrons plus tard si elle l'est encore pour plusieurs marchandises s'échangeant les unes contre les autres avec intervention de monnaie.

69. Jusqo'icî, nous avons supposé, dans toute cette discussion, que les courbes de demande A,, Ap , B,, Bp , B',, B'p coupaient les deux axes de coordonnées. Sans sortir des données de notre hypothèse générale, il convient d'examiner le cas extrême où les courbes de demande , se confondant avec Thyperbole de la quantité existante, seraient asymptotes à ces axes.

Si, par exemple, A^ Ap se confondait avec l'hyperbole D, j», = Qb , la marchandise (B) étant offerte à tout prix, l'équation

deviendrait

laquelle représente l'intersection en w, des courbes Q'^ Q^ Q'\ et KLM . Je fais abstraction de la solution fournie par l'équation

-;^ = 0, soit p. = 00 .

L'équation

deviendrait alors

laquelle représente l'intersection en ;r|^ de la courbe B^ Bp et <]'une ligne droite NT'Q' menée parallèlement à Taxe des prix à une distance ON' = Q,, .

70. Enfin, si les deux marchandises étaient offertes à tout prix, on aurait à la fois

ce qui donnerait, pour les valeurs respectives de jd, et ;>,, ,

Qb Q.

^• = 07' '» = Qr-

Ainsi, dans ce dernier cas, les deux marchandises s'échangeraient purement et simplement en raison inverse de la quantité

existante , c'est-à-dire que cet échange se ferait alors suivant l*équation

Q. «?. = Qb «b •

Et, en effet, comme on le reconnaît bien aisément, cette égalité des quantités existantes et des quantités échangées représenterait alors Tcgalité même de TofTpe et de la demande effectives des deux marchandises.

14* LEÇON Courbes d'utilité ou de besoin.

Sommaire : -r- Circonstance déterminante du point de départ des courbes de demande partielle : utilité d'extemion. Circonstance déterminante de l'inclinaison et du point d'arrivée : utilité d'intensité. Influence de la quantité possédée. Hypothèse d'une unité de mesure de l'utilité ou du besoin. Construction des courbes d'utilité ou de besoin. Elles sont courbes d'utilité effective et de rareté en fonction de la quantité possédée.

71. L'étude que nous avons poursuivie jusqu'ici de la nature <lu fait de l'échange rend possible l'étude de la cause même du fait de la valeur d'échange. Si, en effet, les prix ou les rapports des valeurs résultent mathématiquement des courbes de demande, pour connaître les causes et conditions premières d'établissement et de variation des prix, il faut rechercher les causes ei conditions premières d'établissement et de variation des courbes de demande.

Revenons donc aux courbes de demande partielle, par exemple à la courbe «d.i^p,! ou à son équation d^ = f^^ [p^ ) (51), exprimant soit géométriquement soit algébriquement les dispositions à l'enchère de (A) du porteur (1) de (B) ; et considérons d'abord la circonstance qui détermine la position du point a^ ^ où la courbe quitte l'axe des demandes. La longueur Oa^j^ représente la quantité effectivement demandée de (A) par ce porteur au prix de zéro, c'est-à-dire la quantité qui serait consommée par lui si la marchandise était gratuite. Or de quoi dépend généralement cette quantité? De l'utilité de la marchandise, ou du moins d'un certain genre d'utilité que nous appellerons utilité d'extension ou extensive parce qu'elle consiste en ce que cetle espèce de la richesse répond à des besoins plus ou moins étendus ou nombreux, soit que plus ou moins d'hommes les éprouvent, soit que ceux qui les éprouvent les éprouvent dans une proportion plus ou moins forte, parce que, en un mot, abstraction faite de

tout sacriûce à faire pour s'en procurer, la marchandise seraût consommée en plus ou moins grande quantité. Cette première circonstance est simple ou absolue en ce que l'utilité extensive de (A) n'influe que sur les courbes de demande de (A), et non sur les courbes de demande de (B) , et que , de même , l'utilité extensive de (B) n'influe que sur les courbes de demande de (B)^ et non sur les courbes de demande de (A). De plus elle est mathématique en ce que l'utilité extensive étant la quantité demandée au prix de zéro est une grandeur appréciable.

7!2. Mais l'utilité d'extension n'est pas l'utilité tout entière, elle n'en est qu'un facteur. Il y en a un autre qui va se révéler à nous si nous étudions à présent la circonstance qui détermine l'inclinaison de hcourhe a^^a^^ et, par suite, la position du point dp I pu la courbe aboutit à l'axe des prix. L'inclinaison de la courbe n'est autre chose que le rapport de ces deux quantités: l'augmentation du prix et la diminution de la demante provoquée par cette augmentation. Or de quoi dépend généralement ce rapport? C'est encore de l'utilité de la marchandise, mais d'une autre sorte d'utilité que nous appellerons utilité A^intensité ou intensive parce qu'elle consiste en ce que cette espèce de la richesse répond à des besoins plus ou moins intenses ou pressants, soit qu'ils persistent , malgré la cherté , chez un plus ou moins grand nombre d'hommes, soit qu'ils persistent plus ou moins chez chacun de ceux qui les éprouvent, parce que, en un mot, l'importance du sacriûce à faire pour s'en procurer influe plus ou moins sur la quantité consommée de la marchandise. A la différence de la première, celte seconde circonstance est complexe ou relative en ce que l'inclinaison des courbes de demande de (A) dépend non-seulement de l'utilité intensive de (A) mais encore de l'utilité intensive de (B), tout comme aussi l'inclinaison des courbes de demande de (B) dépend non-seulement de l'utilité intensive de (B) mais encore de Tutililé intensive de (A). Ainsi l'inclinaison des courbes de demande définie comme la limite du rapport de la diminution de la demande à V augmentation du prix, qui serait une circonstance mathématique d'ailleurs très facile à déterminer, ne nous offrirait qu'une relation plus ou

moins complexe entre Tintensité d*ulilité des deux marchandises.

73. 11 y a d'ailleurs une autre circonstance encore qui influe sur rinclinaison de la courbe «d.iS.i ^^ demande de (A), c'est la quantité Çi^ de marchandise (B) existant entre les mains du porteur (1) de cette marchandise. D'une façon générale, les courbes de demande partielle sont intérieures aux hyperboles de quantité partielle comme les courbes de demande totale aux hyperboles de quantité totale. Suivant donc que Thyperbole de quantité partielle variera en se rapprochant ou s'éloignant de l'origine des coordonnées, la courbe de demande partielle variera de la même manière, et comme cela aurait lieu par Teffet d'une variation des utilités intensives. La figure ne fait, dans les deux cas, que représenter fidèlement qetle nécessité.

74. Cette analyse est incomplète, et, au premier abord, il semble qti'il soit impossible de la pousser plus loin à cause de ce fait que l'utilité absolue d'intensité nous échappe parce qu'elle n'est ni avec le temps ni avec l'espace dans un rapport direct et mesurable, comme l'utilité d'extension et comme la quantité possédée. Eh bien ! cette difficulté n'est pas insurmontable. Supposons que ce rapport existe , et nous allons pouvoir nous rendre un compte exact et mathématique de l'influence respective de l'utilité d'extension, de l'utilité d'intensité et de la quantité possédée sur les prix.

Je suppose donc qu'il existe un étalon de mesure de l'intensité des besoins ou de l'utilité intensive, commun non-seulement aux unités similaires d'une même espèce de la richesse mais aux unités différentes des espèces diverses de la richesse. Dès lors soient deux axes de coordonnées (Fig. 3) un axe vertical 0^ et un axe horizontal Or. Sur le premier Oq , je porte, à partir du point 0, des longueurs successives Oq y qq^ y q'q^' •" représentant les nombres d'unités ou fractions d'unités de (B) , 9 , / , ^'' ..» d'une même intensité d'utilité que le porteur (1) consommerait successivement s'il les avait à sa disposition. Et, sur le second axe Or ; et sur des parallèles à cet axe menées par les points 9 I î' >?"•••> je porte, à partir du point et de ces points q , q\

^''..., des longueurs 0/5, | , qr\ q^r^ ... réprésentant les utilités intensives p^^ , r' , r" ... de chacun des groupes d*unités ou fractions d'unités q , q' ^ q^ .., Se forme les rectangles OçRjS^j, ^7'RV , q^q'Wr" ... représentant les produits 9j9,|, 9V , ^V... J'obtiens ainsi la courbe /9, | R/''R'r''R" ... jS^i . Cette courbe est continue ou discontinue : elle est discontinue si ^ , / , g" ... ne sont pas des quantités infiniment petites; elle est continue dans le cas contraire, et se confond alors avec la courbe ^^^if'f^ ... j9q I . J'obtiendrais de même la courbe a, | a^ | continue ou discontinue. Dans le cas de continuité, comme dans le cas de discontinuité, d'ailleurs, je suppose les intensités d'utilité décroissantes depuis l'intensité /9, | ou «,| de la première unité ou fraction d'unité jusqu'à l'inlensilé zéro de la dernière unité ou fraction d'unité consommée.

Les longueurs 0/?^ 4 , Oa^ | , représentent les utilités extensives qu'ont les marchandises (B) et (A) pour le porteur (1) ou l'extension des besoins qu'à ce porteur (1) des marchandises {B) et (A). Les aires 0/3q |/9, ^ , Oa^ | a^^ , représentent les utilités virtuelles qu'ont les marchandises (B) et (A) pour le même porteur ou la somme des besoins qu'a, en extension et en intensive, ce même porteur des mêmes marchandises. Les courbes

^r,i^q,i î ^T,i^qA ^^^^ ^^^^ '^^ couvbes d'uttUté ou de besoin des marchandises (A) et (B) en ce qui concerne le porteur (1). Mais «e n'est pas tout, et elles ont encore de plus un double caraclère.

75. En appelant utilité effective la somme totale des besoins satisfaits, en extension et en intensité, par une quantité possédée <le marchandise, la courbe ^^^ /9q | serait la courbe d'utilité effective en fonction de la quantité possédée de (B), pour notre individu. Ainsi , pour une quantité possédée ^j, représentée par la longueur 0^^ > l'utilité effective serait représentée par la surface O^b P^r^ • Et, en appelant rareté l'intensité du dernier besoin satisfait par une quantité possédée de marchandise, la courbe A.i/^q.i serait la courbe de rareté en fonction de la quantité possédée de (B) pour le même individu. Ainsi, pour une quantité possédée q^ représentée par la longueur Oq^^ , la rareté serait ,0^

représentée par la longueur qi^ p=^ 0/)|, . La courbe a, | a^ | serait, de même, la courbe d*utilité effective et de rareté en fonction de la quantité possédée de (A). C'est pourquoi je puis appeler aussi les deux axes de coordonnées axe des raretés, axe des quantités. Il faut admettre, je le répète,- que la rareté croît quand la quantité possédée décroit, et réciproquement.

Tout cela posé, l'utilité extensiVe et intensive de (Â), pour le porteur (1) de (B), étant représentée géométriquement par la courbe «r^iûq^ et algébriquement parTéquation r, = ç>,| ( q^ ) de cette courbe; l'utilité extensive et intensive de (B), pour ce même porteur, étant exprimée géométriquement par la courbe i^r.i i^q.i ®' algébriquement par l'équation r^ = (p^j^ {qh) ^^ cette courbe ; d'ailleurs la quantité q^ , représentée par la longueur O^b , étant la quantité de (B) possédée par ce porteur (1), voyons si nous pouvons préciser ce que sera sa demande de (A) pour un prix quelconque.

15« LEÇON Théorème de la satisfaction maximum.

Sommaire : — L'échange s'opère en vue de la satisfaction maximum des besoins. L'échange d'une quantité o\^ de (B) contre une quantité dg de (A), après lequel le rapport de la rareté de (A) à la rareté de (B) est égal au prix p. , est avantageux. Cet échange est plus avantageux que tout autre échange de deux quantités plus petites ou plus grandes que oi et d^^ . Donc la satisfaction maximum des besoins a lieu quand le rapport des raretés est égal au prix. Equation de la courbe de demande déduite de la condition de satisfaction maximum.

76. En raison de la manière dont sont établies nos courbes d& besoin et des propriétés que nous leur avons reconnues en les construisant, si notre homme gardait ses ^i^ unités de (B) pour les consommer toutes, il satisferait une somme totale de besoins représentée par la surface Og^ /)/?, | . Ce n'est pas ce que fera généralement cet individu parce que, généralement, il pourra satisfaire une somme totale supérieure de besoins en ne consommant qu'une partie seulement de sa marchandise et en échangeant le surplus contre une certaine quantité de marchandise (A) au prix courant. Si , par exemple , au prix p^ de (A) en (B), il ne garde que y unités de (B), et échange le surplus 0,, =: ^b — y contre d^ unités de (A), il pourra satisfaire une somme totale de besoins représentée par les deux surfaces Oy/î/?, 1 , Orf, a«, 1 , somme qui peut être supérieure à la précédente. On ei^t fondé à dire en principe qu'il opérera l'échange de manière^' à satisfaire la plus grande somme totale de besoins possible, et que, par conséquent, jo^ étant donné, d^ est déterminé par la condition que l'ensemble des deux surfaces Oy^^^i y Od^ aa^^ soit maximum./Ouelle est cette condition? Je dis que c'est que le rapport des Intensités r^ ^ , r,, | des derniers besoins satisfaits par les quantités d^ et ^, ou des raretés après l'échange,, soit égal au prix p^ .

77. Supposons cette condition remplie, nous avons les deux, équations

^'b = îb — y = ^. i^a ,

On en tire, en éliminant p^ ,

soit, en remplaçant d^ ^ Oy^ y r, | , rj,| par les longueurs Orf, , ÇhV 9 d^ ^j VP <1"^ '®s représentent,

Od^Xd^a = gi^y Xy^ .

Ainsi, les surfaces des deux rectangles Orf, ar,i, yq^ Bj9 sont égales. Mais, en vertu de la nature des courbes a, ^ a^ | , )9,^ jS^ | , on a d'une part

surface Od^ aa, ^ > Orf, X rf. a , et d'autre part

ÇhV Xy^ > surface y^r^ ,o^ .

On a donc

surface Od^ aa^^ > surface yq^^ pfi .

Ainsi, l'échange d'une quantité o^ de (B) contre une quantité d^ de (A) est avantageux à notre porteur puisque la surface de satisfaction qu'il obtient est supérieure à la surface de satisfaction à laquelle il renonce. Mais cela ne suffit pas, et il faut montrer que ce même échange est plus avantageux que ne le serait tout autre échange d'une quantité de (B) plus petite ou plus grande que d^^ contre une quantité de (A) plus petite ou plus grande que rf, .

78. Pour cela, représentons-nous l'échange tota^qui a été fait de 0^ de (B) contre rf. de (A) comme s'étant composé de s échanges partiels égaux et successifs. En vendant successivement s fois

-^de (B), et achetant successivement s fois— ^ de (A), suivant

l'équation d'échange

notre individu a diminué la rareté de (A) et augmenté la rareté de (B). C'est ainsi que le rapport de ces raretés primitivement

supérieur au prix p^ est devenu égal à ce prix. Or je dis d'abord que, dans ces conditions, tous les échanges partiels ont été avantageux , quoique de moins en moins avantageux , depuis le premier jusqu'au «'*■"« .

Soient en effet Od\ et q^ xf deux longueurs portées sur Orf. et qy^ y , l'une au-dessus du point , l'autre au-dessous du point

d q^ , et représentant l'une la quantité -^ de (A), l'autre la quantité — ^ de (B) échangées dans le premier échange partiel. Ce pres

mier échange fait, le rapport des raretés diminué est encore, par hypothèse, supérieur au prix, et l'on a, en appelant r, et r^ ces raretés,

ce qui donne, en vertu de l'équation précédente,

d» Ok

soit, en remplaçant -^ , — , r^ , r^, par les longueurs Od\ ,

^b t/ j ^'a "' j y'^^ 5"^ *^^ représentent,

Od\ X d\ a' > ?b / X y'^' .

Mais, en vertu de la nature des courbes de besoin, on a d'une part

surface Od\ a'a^,^ > Od\ x d\ o! , et d'autre part

%y' X y'^' > surface y'q^ p^' .

On a donc a fortiori

surface Od\ a^a^^\ > surface y^q^ p^' .

Ainsi, le premier échange de — ^ de (B) contre -^ de (A) a été

avantageux. On démontrerait de même que les 5 — 2 échanges suivants, successivement effectués, et à la suite de chacun desquels le rapport des raretés diminué était encore, par hypothèse, supérieur au prix, ont été avantageux. Il est, par exemple, évi«

dent qoe l'avantage allait en diminuant avec la diminution même dii rapport des raretés.

Soient, à présent, d^ rf", et yy" deux longueurs portées sur ^a ^ ^^ y9b 9 ^'^"^ au-dessous du point d^ , l'autre au-dessus du

point y , et représentant encore l'une la quantité — ^ de (A), l'autre la quantité — de (B) échangées dans le dernier échange

partiel. Ce dernier échange fait, le rapport des raretés diminué est, par hypothèse, égal au prix et l'on a

ce qui donne, en vertu de l'équation d'échange,

soit , en remplaçant ^-^ , — , r, | , r^^ par les longueurs

'^a ^"a » yy" ) ^a ^ 5 V^ V^^ ^^^ représentent,

rf. d\ Xd^a = yf X y, 3 .

Mais, en vertu de la nature des courbes de besoin, on a d'une part

surface d\ d^ ad' > rf, d\ X d^a, et d'autre part

yy" xyP> surface yy'^^^'fi .

On a donc

surface d', d^ aa!' > surface yy'^^^ .

Oh d

Ainsi, le dernier échange de —1 de (B) contre -^ de (A) a encore été avantageux. Comme d'ailleurs on peut supposer s aussi grand que l'on veut, il est donc certain que tous les échanges partiels sans exception , y compris le dernier si petit qu'on le suppose, ont été avantageux, quoique de moins en moins avantageux depuis le premier jusqu'au s^^^* . Par conséquent , il ne fallait pas ofTrir une quantité de (B) moindre que o^ , ni demander une quantité de (A) moindre que d^ .

79. Nous démontrerions de la même façon qu'il ne fallait pas non plus offrir une quantité de (B) supérieure à o^^ , ni demander une quantité de (Â) supérieure à d^ , par la raison que tous les échanges partiels sans exception , y compris le premier si petit qu'on le supposât, qui seraient effectués au-delà de cette limite seraient désavantageux, et de plus en plus désavantageux. Mais cette démonstration, au surplus, rentre rigoureusement dans celle que nous venons de faire. En effet, en continuant à diminuer la rareté de (À) et à augmenter la rareté de (B) par un échange d'une quantité quelconque de (B) contre une quantité équivalente de (Â), après que la limite de l'égalité du rapport de ces raretés avec le prix/», a été atteinte, on arrive à l'inégalité

laquelle peut être mise sous la forme

Or, en vertu de la démonstration qui a été faite , il est certain que, dans ces conditions, on se rapprocherait du maximum de satisfaction en échangeant une certaine quantité de (A) contre une certaine quantité de (B) jusqu'à ce qu'on eût atteint la limite

soit

*'a,i = Psi *'b,l •

80. Ob 6^ ^a seront donc bien, ni plus ni moins, les quantités respectives de (B) et de (A) qu'offrira et demandera le porteur (1) de (B) au prix p^ de (A) en (B) , si ces quantités sont celles pour lesquelles on a la relation r, ^ = p^ r,, | .

Et généralement : — Deux marchandises étant données sur un marché, la satisfaction maximum des besoins, ou le maximum d'utilité effective j a lieu, pour chaque porteur, lorsque le rapport des intensités des derniers besoins satisfaits, ou le rapport des raretés, est égal au prix. Tant que cette égalité n'est pas atteinte, il y a avantage pour Véchangeur à vendre de la marchandise dont la rareté est plus petite que le produit de son prix par lia rareté de Vautre pour acheter de cette autre marchandise dont la rareté

est plus grande que le produit dts son prix par la rareté de la pre^ fnière.

Il peut ainsi y avoir avantage pour Téchangeur à offrir toute la quantité de Tune des deux marchandises dont il est porteur comme à ne demander aucune quantité de Tautre. Nous reviendrons tout à l'heure sur ce point.

Notre figure suppose les courbes de besoin continues; il y aurait lieu de discuter le cas où elles seraient discontinues. Cette discussion montrerait notamment qu'en ce cas, il pourrait y avoir, à la limite, un certain nombre d'échanges élémentaires indifférents, c'est-à-dire qui ne seraient ni avantageux ni désavantageux. Les quantités o^ ^t rf, seraient alors indéterminées entre certaines limites ; mais le théorème n'en serait pas moins vrai par la raison que, dans ces limites, la satisfaction serait toujours maximum du moment où le rapport des intensités dernières serait égal au prix.