ARTICLE TROISIÈME

iplication et éléTation aux paissancet

i traiter la question qui doit faire l'objet de cet article le procédé de la multiplication abrégée de deux nom- II convient de l'employer lorsqu'on n'a besoin que prochée du produit, car il a pour but de dispenser du es qu'on ne veut pas conserver. Pour en simplifier i commencerons par l'appliquer à un exemple.

à 0,001 près le produit

smier facteur pour multiplicande j'écris le chiffre des 1 sous celui des dix-millièmes du premier, puis les ans l'ordre inverse de l'ordre usuel, et j'ajoute au )ux zéros pour que chacun des deux premiers chiffres r ait un chiffre du multiplicande au-dessus de lui. es se présentent alors ainsi :

957821400 76489860753421 ;te disposition le produit d'un chiffre quelconque du ir celui du multiplicateur qui se trouve au-dessous î des dix-millièmes. Je multiplie maintenant le mulisivement par chacun des chiffres du multiplicateur,

en commençant, chaque fois que je prends un nouveau chiffre du multiplicateur, par celui du multiplicande qui se voit au-dessus de lui et ajoutant la retenue fournie par ceux qui le suivent. Les produits partiels ainsi obtenus exprimeront tous des dix-millièmes, et par •conséquent il faudra, pour les additionner, les disposer de façon que leurs derniers chiffres se trouvent sur une même colonne. L'opération se présente comme suit :

On obtient ainsi 119111,8615. Ce résultat est plus petit que le produit des deux nombres proposés, puisqu'il y a eu des parties négligées dans les multiplications partielles. Nous allons en déduire une limite supérieure de ce produit.

Remarquons d*abord qu'on a calculé, sans rien omettre, les produits du multiplicande par les trois prenâers chiffres du multiplicateur, qui sont 1,2 et 4. C'est à partir du chiffre suivant, c'est-à-dire du -chiffre 3, qu'on a commencé, dans la formation de chaque produit partiel, à négliger une partie de ce produit. Or cette partie laissée de côté est chaque fois inférieure à un dix -millième, d'où il suit que la somme des six produits partiels incomplets, fournis par les chiffres 3,5,7,6,8,9, est fautive de moins de six dix-millièmes. Ajoutant un dix-millième pour les chiffres du multiplicateur qui viennent après le ^, ce qui sera sufûsant même dans le cas le plus défavorable, on trouve que le produit auquel on est parvenu est en erreur de moins de sept dix-millièmes, en sorte que le produit vrai est compris entre

119111,8615 et 119111,8622,

CALCUL APPROX. 4« ÉD. 2

lar conséquent, à moins de 0,00i près, ~e à évaluer à un millier près le produ 51421,4876 x 6897,30099.

;mple précédent nous avons placé le cl ur sous celui du multiplicande qui en l'un ordre à l'ordre auquel on voulait néme ici. Les unités du mulplicateii itaines du multiplicande et chaque pro ntaines. Voici l'opération.

t représente des centaines. Le produit c compris entre 354669200 et 35466980 iur de ce produit à un millier près, i ir défaut.

[térer aussi sans renverser le multiplie jue nouveau produit parlJel inconipli u point le chiflre du multiplicande duq négligeant cette précaution on s'ei ■oduit partiel suivant, à ne pas trou re du multiplicande par lequel on doit ^Iculateurs préfèrent cette manière.

;hons maintenant à déterminer dar iltiplicande sous lequel il faut placer 1 .ppelons w l'unité de l'ordre auquel o ipposons que, comme dans les deux ex 1 ait placé les unités du muKiplicatei

multiplicande. On a vu dans ces deux exemples comment on estime

alors Terreur- maximum du résultat obtenu, et cette erreur est re-

u présentée par un certain nombre a de je. Si a ne surpasse pas dÔ on

pourra déduire de ce résultat une valeur du produit à moins de u près et dont le dernier chiffre sera celui des u. On le pourra même toujours (voir ravant-dernier alinéa du N^ 8 ci-dessus) si a ne surpasse pas 11. On aura soin d'évaluer a avant de commencer à multiplier, et s'il se trouve qu'il soit plus grand que 11 quand on place le

chiffre des unités du multiplicateur sous les — du multiplicande, il

faudra placer ce chiffre sous les -T^rrr. Alors a représentera des-77r:r,

et il suffira qu'il ne dépasse pas 101 pour qu'on puisse déduire du

résultat de la multiplication une valeur du produit vraie à n près et

dont le dernier chiffre soit celui des u. Etc.

13. L'objet du présent article est de chercher à quel degré d'approximation on doit calculer les facteurs d'un produit pour que le produit puisse être obtenu avec m chiffres exacts, et la solution de cette question sera basée sur la proposition que voici :

L'erreur relative d'un produit dont tous les facteurs sont approchés par défaut est moindre que la somme des erreurs relatives des facteurs.

Pour la démontrer * considérons d'abord le cas où il n'y a que deux facteurs. Soient a, h leurs valeurs exactes , «, j3 leurs erreurs absolues, et, par suite, a — a, b — |3 leurs valeurs approchées. L'erreur absolue du produit est égale à

ab'—{a — a) (& — |3) = a]3 H- 6a — «p.

Son erreur relative a donc pour expression

a/3 H- fea — a]3 « ]3 «^ ah ah ab^

quantité plus petite que la somme des erreurs relatives des facteurs,

* La démonstration qui va suivre est donnée dans la Théorie générale des approximations numériques de M. Vieille. Il en est de même de la proposition qu'on lira au No 15 ci-après.

a S somme est égaie à — h ^- I' su

■osition est vraie dans le cas de ]

ap + 1.

p -H 1 nombres dont on donne wient

exactes, et

absolues. Parmi ces nombres p ! l'erreur relative du produit de le ;)othëse,

arder le produit abc....lm com

l et m. L'erreur relative du pro

-t- \ nombres est donc moindre (