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abc l

1 lieu d'être approchés par défi Es, l'erreur relative de leurprodi les erreurs relatives des facteu s si dans cette somme on dimin»

, 6, c,.... en en retranchant res[

!, - (p — i) p, etc., alors l'erreu

s cas, plus petite que la somme iition donne le moyen de form le l'erreur relative d'un produit

des facteurs n'est pas connu, e1

de l'ouvrage,

irincipe établi au N" IS fournit approximation auquel il faut g

produit pour que le produit puisse être évalué avec m chiffres ci On devra prendre tous les facteurs par défaut, et s'arrang manière que la somme de leurs erreurs relatives soit inféri»

■; rr-rr: 7 , fc étant le premier chiffre du produit, ou à 7-—

chiffre ne peut pas être connu d'avance (5). Alors on obtiem produit à une unité près de l'ordre de son mM'^' chiffre et par d En augmentant le m""" chiffre d'une unité et biffant ceux qui vie après lui, on aura le produit avec m chiffres exacts. Soit p le n> des facteurs : il suffira de rendre l'erreur relative de chacun

inférieure à la »**"< partie de — .. .. r si k est connu d'à'

■*^ *^ (fc + lj-l(r-'

et à la p'^' partie de jt^ dans le cas contraire.

En particulier il suffit de m + 1 chiffres pour tout facteur d' p(fi -L. i) premier est égal ou supérieur à ■ — ■ ; et même de m c

pour un facteur dont le premier ne serait pas moindre que p{k Si l'on ne peut faire usage de k il suffira, quand p n'atteint pas m + i chiffres pour tout facteur dont le premier est égal ou sup à p, tandis qu'on en calculera m + 2 d'un facteur ne remplissa cette condition.

16. Si parmi les facteurs il y en a d'exactement connus, il n

pas les faire entrer en compte. La multiplication par de tels fa

ne changeant point l'erreur relative, p représente le nombre dt

teurs approchés. En particulier, s'il n'y a que deux facteurs i

l'un d'eux soit donné par sa valeur exacte, on a p = -1, et il .

de rendre l'erreur relative de Vautre inférieure à -; ., .„ —

si

avec m + 1 chiffres le facteur approché.

17. Si au lieu de demander le produit avec un certain noml chiffres exacts on donne le maximum d'erreur absolue qu'oi tolérer dans sa valeur approchée, il faudra commencer par ch'

deur de ses plus hautes unités, ce qu réalable des premiers chiffres des facteurs js hautes unités du produit une fois co ire de chiffres exacts à calculer, et le p jdent ; car si par exemple on veut connai ème près et qu'on ait trouvé que ses mille, on voit qu'il faut le calculer avec

qui précède s'applique à l'élévation aux :t qu'un cas particulier de la multipl remplacé par une valeur approchée a —

.issance nWm« est inférieure à — , Pour a

—r-, ., .- — ; si l'on connaît d'avanc(

jsanœ à calculer *.

quelques exemples. Considérons d'abon facteurs, dont il s'agit de former le pro if h leurs valeurs exactes, a', b' leurs linées en tenant compte des N"' 15 et 16 de connaître toutes les figures du proi 'en connaître les m premières, puisqu'o exacts en augmentant d'une unité le r eux qui le suivent. Cela revient à dire qu !c m chiffres exacts et par défaut. Exen:

sept chiffres la longueur de la circonfére du carré inscrit dans le cercle de rayon i r a pour expression ir(/8. Le premier îlui de i^S un 2, on devra, d'après le N" âeux nombres avec huit chiffres et par

ition aux puissances est serré de plas près dans i Dte 11.)

ff = 3,1415926, et /S = 2,8284271.

Il faut maintenant calculer le produit de ces nombres app comme pour l'avoir avec sept figures et par défaut. Or la pn figure de ce produit représentant des unités, ainsi qu'on le rec à vue, la septième est celle des unités du sixième ordre décimal. donc comme pour le connaître à une unité près du sixième ord cimal et par défaut qu'on doit calculer le produit des valeurs t chées de n et de ^^8. Voici l'opération :

Il suit de ce résultat que le produit de nos valeurs approchée et de j/S avec sept chiffres et par défaut est 8,885765. La Ion demandée est dès lors, avec sept chiffres exacts, 8,885766.

Considérons maintenant un produit de trois facteurs. Soient i ces facteurs et a', b', c' des valeurs approchées de a, b, c, i minées d'après les N™ 15 et 16. Pour avoir abc avec m chifires il suffit de connaître les m premiers de a'b'c'. c'est-à-dire qu'il de connaître ce dernier produit avec m chiffres et par défaut.

Soit comme exemple à évaluer avec six chiffres exacts

abc = (5-1-1^116) (l + ^ïï) {i,^+ i/3J.

On reconnaît à vue que les premiers chiffres des trois fàcleuri

respectivement 9, 5 et 2. Comme ^3 est plus grand que1,5 et

conséquence le dernier facteur n'est pas inférieur à 2,7, ah

compris entre 9 X 5 X 2,7 et 10 X 6 X 3, donc entre 100 ei

i i. i ■ . • ■! r:êî el ftir <i^faul !■ ,k ^-—j'^:-^ fe ôerDÎer prod ;-.rs liS.;^.ii3. et i4g,36i est a ur ûtâai- Oc a Jès lors, avec ; ,A>4, et p-ir juiie, avec sis chil

i'iwùrii lie quatre facteurs. So

)^'^-,>ë)(4+/ro)

irttjv t'ai-teurs le premier chiffr ivnnaître les sis premiers ch

A cet effet il suffit des six premiers de /27, j/IO et \,

faut les sept premiers de y" ^t de (Z 6 . On trouve, par d^

j/ÏÔ = 3,16227; /22 = 2,80203.

On tire de là, toujours par défaut,

4 + /ÎÔ = 7,16227 ; 4,02 + ^22 = 6,822 Appelons a',b',c',d' ces valeurs approchées des fact* connaître a'b'c'd' avec cinq chiffres et par défaut. On produit est compris entre 1000 et 1O0OO, et que, parlant près qu'on le doit calculer. II suffit donc de former a'( près et par défaut. A cette (in calculons a'b' à 0,001 prè 689716 II suit de ce résultat que a'b' est compris i

483087 et 53,825. Appelons g et h ces deux limi

Les quantités négligées dans les produits partiels cl somme 0,001 ; en conséquence on a, par défaut, gc' = i aussi là la valeur à 0,01 près et par défaut de hc', puiS' ce produit en remplaçant le produit partiel 28 par 35, c 385,506, et que la .somme des erreurs des produits partit

on a a'b'c'd' „ . Or il se ti

< nd'

^mes cinq premiers chiffres, ces d<

et 2629,9 respectivement. On ne

itre le cinquième chiffre de a'b'

ppe.

te nous instruise. En s'apphqus

re possible de chiffres, ce que no

, on s'expose trop à manquer

à la règle que Toici : Pour conn

. . . des nombres proposés, condu

Litre avec m + 1 chiffres le pro<