I. Supprimant le dernier et âugm
ra le résultat cherché. Ilyatoute
Q3 un moment.
cette règle notre dernier exemp
cer a'b' à 0,000i près, au lieu »
!S comme tout à l'heure.
voit qu'il est compris entre 53, )ns a'b'c' à 0,001 près.
ent sur cette opération que a'b'c >. Multiplions d' par la premièn avoir le produit à 0,01 près.
Ainsi les cinq premières figures du produit i quatre nombres approchés sont 26299. Pur suite avec cinq chiffres exacts, 545762 abcd = 2630,0
Mais il est un cas où une valeur d'un nombre avec m + 1 chiffres ne fait pas connaître les m premières figures de ce no c'est lorsque le dernier de ces m + 1 chiffres est un zéro et sens de l'approximation n'est pas connu. Appelons K le produi des facteurs donnés et L le produit a'b'... des acteurs appi Prenons m = 4 et supposons que L soit très voisin, par exemj 37,46; qu'il soit de très peu plus petit ou de très peu plus ^ que, par exemple, ses six premières figures soient 374599 oi 374600. Le calcul ayant été conduit en vue d'avoir L avec cin chiffres, les deux limites qu'on trouvera de ce produit seront i naire de part et d'autre de 37,46 ; elles seront, par exemple, 3* et 37,4602, et l'on en conclura 37,460 pour valeur de L ave bons chiffres. Or le dernier est un zéro, le sens de l'approxii est inconnu, et alors nous ne pouvons affirmer que le nombre obtenu en supprimant le zéro, donne les qualre premières figu L, car la quatrième pourrait être un 5.
En pareille occurrence que faire? Faut-il reprendre le calcu pour en déterminer un chiffre ou deux de plus ? Non, mais on tara 37,46 pour valeur du produit K des facteurs donnés, avec 1 rance que les quatre chiffres sont bons.
Si 37,46 est la valeur de L avec quatre chiffres et par exi valeur par défaut est 37,45, et l'on est dans la règle en prenani pour valeur de K. 11 ne peut donc y avoir doute que si 37,46 i défaut. Dana ce cas K est égal à 37,46 augmenté des deux diflfé L — 37,46 et K — L. I-es nombres dont L est le produit sont minés d'après les N° 15 et 16 de telle sorte que la différence I soit inférieure à une unité de l'ordre de celles que représente le
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Ml 772
•it cherché est 796618. Dans cette manière de procéder on donc pas la peine d'enfermer chaque résultat entre deux a confiance en la compensation des erreurs, et l'on gagne Mais il peut arriver exceptionnellement que les erreurs ts ou presque toutes de même sens, et qu'elles soient loin
.non» n..»«t ».. .A^.ltnl ^..AnAilant il aat /-H ri 9 1 n P m pn t. hnil-
chiffres à la suite du dernier diviseur et ent; les chiffres conservés constituent 1 id ensuite, sur la gauche du dividende, a lOmbre qu'ils forment contienne k fois le (it le premier chiffre du quotient des nom) is les autres. La partie conservée au divii vidende.
ivise le premier dividende par le prem:
linsi le premier chiffre du quotient ; le ne dividende. On biffe au premier divise , et l'on a le deuxième diviseur. On div:
lar le deuxième diviseur, et l'on obtient ient. On continue ainsi jusqu'à ce qu'o du quotient, et l'on n'a plus qu'à placer 1 nité près de l'ordre de celles qu'exprime '.
: des deux nombres proposés.
ons un exemple ou deux.
1er, avec cinq figures exactes, le quotien
38747,610165 : 743,9176521 eniier diviseur est 743947 , les suivants '4. L'opération se présente comme suit :
16 est, à 0,001 près, par défaut ou par ex mbres proposés.
it arriver que l'un des dividendes contiem indant. Dans ce cas il est évident que !
mé d'un seul chiffre ; et comme le dernii eux, les chiffres suivants du quotient se ouver avec cinq figures exactes le quotien 34293,915 : 6350,7345 ;
les diviseurs successifs sont 635073, 63507, 6350, 635, 63, et il vient
Si donc notre règle est vraie, 5,4000 est le quotient des nombres proposés à 0,0001 près. Or elle tend dans tous les cas à rendre le quotient trop fort *, et comme dans le procédé vulgaire un dividende partiel ne contient jamais plus de 9 fois le diviseur, 5,4000 est une valeur du quotient approchée par excès ; et dès lors , toujours en supposant vraie la règle ci-dessus, le procédé vulgaire, arrêté au cinquième chiffre du quotient, eût donné 5,3999.
Démonstration de la règle, — Soient G le dividende et D le diviseur proposés, et soit Q le quotient de m chiffres qu'à fourni le procédé qui nous occupe. Appelons R le reste de l'opération, c'est-à-dire le nombre qu'on obtient en écrivant tous les chiffres non employés du dividende à la suite du reste laissé par le procédé abrégé. Désignons encore par S la somme des quantités que dans ce procédé on néglige, à chaque division partielle, de retrancher du dividende, et qu'on en retranche dans le procédé vulgaire ; on a
R S Nous allons faire voir que les rapports ï=; et — sont moindres tous deux
qu'une unité de l'ordre de celles qu'exprime le m*^»»« chiffre de Q ; la règle sera alors démontrée.
On abrégera le discours et l'écriture sans nuire à la généralité du
* En effet, les suppressions de figures opérées au diviseur reviennent à remplacer ces figures successivement par des zéros. Supposons qu'on laisse le dividende proposé tel quel, et qu'à ces remplacements successifs près on pratique le procédé ordinaire de division : les chiffres qui suivent ce que nous avons nommé le premier dividende se conserveront sans changements dans tous les restes consécutifs et seront sans influence aucune sur le quotient borné à m figures, lequel, partant, ne se fût point ressenti de la suppression de ces chiffres. Et la substitution de zéros à des chiffres du diviseur ne peut altérer que dans le sens de Taccroissement le quotient des deux nombres proposés.
mement en supposant que les virgules aient él i et au diviseur de sorte que le m""" chifii'e er des chiffres conservés au diviseur représent nités simples. Il faut pour cela porter la virgui du premier diviseur, et celle du dividende n
lu premier dividende. Tout est ramené k me
ilors tous deux plus petits que 1 , c'est-à-dire i K)nt tous deux plus petits que D.
r le fait de cette disposition il y a, dans R, m te laissé par le procédé abrégé et la virg;ule ; o lus petit que le dernier diviseur et qu'il y a es entre le dernier diviseur et la vit^ule, on a us avons encore à faire voir que S est plus les idées donnons une valeur à m, et faisons-l ■nier diviseur et soient a, b, c, d les quatre ch iuite de A pour former le premier diviseur; nte des unités simples. Soit enfin a la fractior !ur D : ce nombre D a pour expression
10000A + 1000a + 100b + 10c + d rendra aussi grande que possible la somme di lige d'ôter du dividende en supposant qu'il in des quatre premiers chiffres du quotient et 1 lanlité négligée en multipliant le premier divi chiffre du quotient est alors, puisque ce chiff les de mille,
90000«, quantités négligées en multipliant les diviseui es correspondants du quotient sont, respectivei OOOOd + 9000«, 9000c + 900d -h 900«, 9000b + 900c + 90d -)- 90«, lOOOOo H- 1000& + 100c H- lOd + 1 imme S de ces cinq quantités est égale à
10000 {a+h + c + d) + 10000( s'agit maintenant de comparer les expression
trer que la première surpasse toujours la seconde. On voit que -cl augmente d'une quantité plus grande que l'autre quand on croître un ou plusieurs des nombres a, h, c et d. On se placera dans le cas le plus défavorable en les faisant tous quatre égaux et en donnant en outre à A sa valeur minimum, savoir 5 x 9 ou Alors les expressions (1) et (2) deviennent
459999 + « et 360 000 + 100 000b.
anchant de chacune d'elles 360 000 + « et divisant les restes Î9999 elles se réduisent respectivement à i et a. De là résulte la osition, puisque a est plus petit que i.
1. Considérons le cas où, après avoir pris sur la gauche du diviassez de chiffres pour former un nombre au moins égal à 9m, il 'en trouve pas au delà de m — i autres. On commencera la divià la manière ordinaire. Soit n le nombre des chtftres qu'il reste à ver à un Instant quelconque de l'opération : on emploiera le proi abrégé à partir du moment où, après avoir compté sur la gauche llviseur assez de chiffres pour former un nombre égal au moins 1, il en restera plus de n — 1 autres. Soit par exemple à trouver six chiffres exacts le quotient .qt,^ ', ou calculera les trois
niers par le procédé ordinaire, et l'opération se présentera ainsi :
n a donc, avec six chiA'res exacts, ■ .,;^ = 26,2795.
l2. La solution du problème qui est l'objet principal du présent :1e est fondée sur la proposition suivante : Si A est une valeur
TOchée par excès, l'erreur relative de — est inférieure à l'er-
r relative de A.
oit en effet R la valeur exacte et soit « l'erreur absolue de A ; on
CALCUL ÀPPBOX. J' ÉD. 3
;e de l'hypothèse, A = R + a, et l'err équent
R ionc plus petite que ^ , c'est-à-dire que
I est facile maintenant de résoudre la vue, savoir :
lonuée une expression de la forme — -^ ion faut-il calculer les nombres a, h, c, ibtenir K avec m chiffres exacts?
it écrire K sous la forme d'un produit d
itque si les nombres a„ &, c, .... sont t( res r, 3, t, .... par excès, tous les factei ; par défaut l'en'eur relative du produi >mme des erreurs relatives des facteu recèdent, puisque r, s, t, .... sont pris i
14 1 de -, -, -, .... sont respectivement ph
, Donc l'erreur relative du produit :
eure àla somme des erreurs relatives dt pour parler correctement, inférieure à li des valeurs approchées de ces nombres.
s, pour que K puisse être connu à une i [ue représente son m'"'™ chiffre, il suffit t it, r, 3, t, .... par excès, et de faire en : irs relatives des valeurs approchées ( ijue j^- Et l'on est en droit de rem|
— r— ;rr— -T, '^ étant le premier chiffre sii 1) 10*"' lue du produit sera inférieure alors à i
K qu'exprime son m''™ chiffre , et il n'y aura qu'à augmenter Te d'une unité et à biffer tous les suivants pour avoir K avec Tes exacts. Soit p le nombre de celles des grandeurs a, b, c, ...., .... qui ne se traduisent en décimales qu'approximativement : simple sera de calculer ces grandeurs avec assez de chiffres
le dans chacune d'elles l'erreur relative soit inférieure à rrr~,
si l'on peut faire usage de k.
Considérons le cas d'un rapport de la forme -, a et y ne poure évalués en nombres décimaux qu'approximativement. On a = 2, et l'on voit que toutes les fois que k ne surpasse pas 4 de calculer le dividende et le diviseur chacun avec m + 1 ;, car alors 2 (k + 1) 10"^' ne surpassant pas 10", la fraction
., .__ n'est pas inférieure à 77:—. Il suffirait même de m
1) lO*^' 10"
pour UQ terme dont le premier serait égal ou supérieur à 1). Lorsque k est plus grand que 4 il suffit encore de m 4- 1
pour un terme dont le premier est autre que 1. Un terme
premier chiffre est 1 devra , si A: est plus grand que 4 , être
avec m + 2 chiffres,
ons un exemple. Soit à calculer avec sept chiffres exacts le
e la circonférence égale au périmètre du triangle équilatéral
dans le cercle de rayon unité.
irimètre a pour expression 3j''3, ou j/ 27. On a donc, en dési-
lar R le rayon cherché,
2ffR= 1/27, d'où R =i^.
ne le premier chiffre de /S? et celui de 2)r sont tous deux urs à 1 il suffira, d'après ce qu'on vient de voir, de huit chift du dividende que du diviseur. On trouve, en prenant le pre- X défaut et le second par excès,
gît maintenant de calculer les sept premiers chiffres du quo-
irmes, on doit calculer le quotient ô-^Sc
défaut. A cet etTt;t nous le calculeron.
ïant le huitième on sera certain, s'il < quotient avec sept chiffres et par défaut
:, avec sept chiffres et par défaut, 5,1961524
ARTICLE CINQUIÈME Des racinesobjet de ce nouvel article est de fixe
est nécessaire de connaître un nombre avec m chiffres exacts , mais avant d'al erons dans quelques détails sur l'extrad iécimaux. La méthode ordinaire d'exti d'un nombre décimal est fondée sur ment de {u + vf ; c'est la méthode par
(létique enseignent à extraire les racines carrées et les racines s. Dans cette méthode le reste de l'opération est toujours lu nombre proposé sur la puissance p'*°" de la partie calculée cine. Nous montrerons, pour commencer, comment peuvent r de nouveaux chiffres d'une racine au moyen d'une division , m en a calculé les premiers par la méthode ordinaire. C'est le
qu'enseignent les traités d'arithmétique pour la racine carrée. ndra ici aux racines de tous les degrés , après avoir traité sent le cas de la racine carrée et celui de la racine cubique, rons connaître ensuite une méthode d'extraction des racines
les degrés entièrement différente de la méthode vulgaire.
Soit a une valeur approchée par défaut de la racine carrée >mbre N, et soit a -+- a; sa valeur exacte. De l'égalité N = (n + a;)* = a' + 2aa; + x^
N — a* = 2ax + x^ , l'on voit que, sans la présence du terme x', on obtiendrait la le X en formant la différence N — a* et la divisant par 2a. ise de la présence du terme a^, le quotient de N — a*par 2a, t que nous nommerons b, surpasse x de la quantité — . Si donc ijoute b, on aura une valeur de (/N approchée par excès et anl |/Nde la quantité — . Cette valeur sera plus approchée que
est plus petit que x. Or l'inégalité ^ <x peut s'écrire x < 2a, i'on voit qu'elle est satisfaite, et que par conséquent a + b est proche que a, si seulement a surpasse le tiers de la racine se. Cette condition est remplie si l'on connaît le premier chiffre cine (et, bien entendu, l'ordre des unités qu'il exprime) , car a évidemment a> x, et, par conséquent, o > =(/N > - j/N . a été obtenu par le procédé ordinaire d'extraction de la racine le reste de l'opération est précisément la différence N — a*; n divisant ce reste par le double de la partie déjà obtenue de ;e, et ajoutant le quotient à cette partie, on aura une valeur prochée de la racine.
! savoir à quel instant on doit arrêter la ^terminer le nombre de chiffres exacts sur juand on prend a + b pour valeur approch ;ours sera simplifié si nous supposons que L tière formée d'un seul chiffre. On est en dn >n , car si l'on déplace d'un nombre pair ( vers la gauche la virgule d'un nombre de . multipliée ou divisée par une puissance de continue à présenter la même suite de chi ement on peut toujours faire en sorte que I "6 N ait un ou deux chiffres, et par suite qu ^e en ait un seul.
ons maintenant que l'on connaisse de la J 1( : prenant a-{- b pour valeur approchée c
. Cette quani
le est plus petite que -^^^^, . Si donc a < 1 jusqu'au (2n)''°" chiffre après la virgule , (
tser jusqu'au (2n + l)'*™, c'est-à-dire un i ! a -H b est approché par excès , on aura soi t. Alors on sera certain d'avoir la racine a' h 2 chiffres exacts , suivant que o est ou n( premier cas on gagne autant de chiffres i ssait déjà ; dans le second on en gagne autai éjà.
lêmc quand a est < 5 l'erreur ^ est infé:
iivent * et la division double le nombre de.
ibililé que — ne dépasse pas — ^ v. ■< calculée en ai iréreininenUoutesle9va]eursdezéroà;TTr-'el a celles di
mple à trouver (/8,39 avec dix chiffres. Les cinq prent le nombre 2,8965, et l'excès de 8,39 sur le carré de ce 0,(3)28775, l'écriture (3) représentant une suite de trois
ix < 0,(4)5, a > 2,8, par quoi l'erreur — est inférieure lonc à 0,(8)1 , et la division amènera cinq nouveaux bons
^en de lui en taire rendre encore une fois autant. Nous né b le nombre ■ ' ^ — , valeur approchée de x; re-
r- par s ; on aura x = h — teli<;r— . L'erreur que !« "^ 2a ^
ttrait en calculant ;r- avec x = b esi^ •— ,ou, à
2!n + (* = a; + 1, — X , quantité inférieure à la somme
[nant par h le nombre 0,(3)28775, par quoi b = h^ . h*
e de ces deux nombres, savoir
0,(4)4 9671592040 4, reàa;, d'après ce qu'on vient de voir, de moins d'une *" ordre décimal, et, partant, on a, avec quinze chiffres
le. Si le procédé que nous avons décrit ne tendait pas à valeur trop forte de /N, ou, en d'autres termes, si b lus grand que x, le premier chiffre significatif de b serait s cas d'un ordre décimal inférieur à celui du dernier
des chiffres de ^N qui ont été calculés par Mais comme b est plus grand que x, ne peut-i valeur atteigne l'unité de l'ordre décimal du de connus de ^'N ? Oui , et cela arrive lorsque le arrêté et sur lequel on va faire la division van foi» la partie déjà obtenue de la racine, abstrac bien entendu, et des chiffres de N non encore ^ail, la valeur maximum du reste. Un exempl donné par le nombre 77,43, dont la racine c l'ûti se propose de calculer cette racine avec qi lieux derniers au moyen de la division. Car reste N — a' se trouve être 1,74, ce qui , di donne 0,1. Quand ce cas se présente il faut, s la division, écrire à la suite des chiffres donné: naire autant de fois le chiffre 9 que la division veaux chiffres exacts. On l'écrira donc n ou n est ou n'est pas moindre que 5, On obtiendr l/N par défaut, exacte à une unité près de l'o prime son dernier chiffre. En d'autres termes, par la méthode ordinaire , il serait venu les m^
'27. Occupons-nous maintenant de la racint Pour abr^er le discours nous supposerons i du nombre proposé ait une partie entière fori On pourra toujours, par un simple déplacemen ïoi'te que cette condition soit remplie, et cela dans ses chiffres.
Soient N le nombre considéré , a une valeu de sa racine cubique, et a + a; la valeur exa' cause de
a = {a+xf = a^ + 3a*r + 3^
si l'on divise par 3a* la différence N — a?, ( reste auquel on est parvenu si -a a été calculé ps le quotient qu'on obtient est égal à
* Dans les noies qui lermiDent un livre très répandu , I Seri-et , on trouvera une remarquable méitiode de calcul di
a 3a* oute ce quotient à a on a une valeur de j/N qui est trop — h —^ . Pour que celte valeur soit plus approchée que essaire et il suflit qu'on ait
est la même chose, - + ^-j < 1 , et cette inégalité est
. l'on connaît les deux premiers chiffres de la racine ,
rs, a; étant inférieur à —, le premier membre est plus
\ "*" ^m' ^'"""^ moindre que 1.
is que, par la méthode ordinaire, ont ait calculé n chiffres gule, donc n + 1 en tout ; la division du reste de l'opéra- ' en fournira n nouveaux , Elle fait donc acquérir autant 3ue l'on en connaissait déjà, moins un.
pj a'
ration. Nous avons vu que la quantité dont — ^ sur-
a? x^ t égale à p ^-^, et cette siimme est par conséquent
I de l'erreur commise lorsqu'on prend pour valeur de x le
r-^ — . Pour que cette erreur ne puisse pas rendre inexact
hiffre après la virgule il suffit qu'on ait
■^ "^ 3^^ *^ ï^ ' Fait dès lors acquérir n nouveaux bons chiffres toutes les u cette inégalité, thèse on a déjà calculé n chiffres après la virgule , ce qui
■1 est moindre que —^. Si donc l'inégalité précédente est
re X. Or elle devient, quand on remplace ic par -
De toutes les valeurs que peut revêtir a, la plus pe présente dans le cas où la partie entière de la racine les n chiffres décimaux déjà calculés sont tous des zé minimum de a ne convient évidemment pas à la de mais toutes les autres valeurs possibles de a lui coni
a n'est pas précisément égal à 1, il vaut au moi cette valeur de a satisfait à l'inégalité précédente, et I grande k plus forte raison. Sans prendre la peine substitution, on s'assure de la chose en mettant cette
tisfaite par a = 1 -4- -rr- ■ 10" Notre proposition est ainsi démontrée pour tous pour le cas extrême où l'on a a = i, c'est-à-dire où I si^niGcatif de la racine est l'unité et où les autres par la méthode vulgaire sont tous des zéros. Ecartan moment, remarquons que le quotient de la division ( X on peut se demander, comme pour la racine carrét pas s'élever à l'unité de l'ordre décimal du dernier i calculés de (/N. Il suffirait à cet effet que ce reste faite des virgules et de ceux des chiffres de N qui i servi , ^;al à 3a*. Or la relation *
montre que ce reste est, parfois , même plus grand q bre 1,0925, dont la racine cubique est 1,02992,,., ( de ce cas si l'on se propose de calculer cette racine a dont les deux derniers au moyen de la division. a = 1,02, on trouve
N — a* = 0,031292, 3a' = 3,121 et le quotient de ces deux nombres commence par C occurence on est dispensé de faire la division ; on chiffre 9 à la suite des chiffres calculés par la méth l'on aura une valeur de j/N approchée par défaut el figures seront bonnes.
Ions montrer maintenant que la proposition subsiste dans i = i. Toutefois le lecteur peut, s'il le préfère, passer dès à 1 numéro suivant, se réservant, si ce cas très rare venait nter à lui , de continuer le calcul de / N par la méthode jusqu'à ce qu'il arrive à un chiffre significatif et que a cesse àl.
n^lité (i) faisons a = 1, elle devient , a^ 1
ion décimale qu'on forme en écrivant après la virgule n
Is de n fois le chiffre 9 est égale à rz- — -rrrr . Cett« frac- " ■10» KP"
tituée à X, satisfait & la dernière inégalité, qui est à plus
m satisfaite par toute valeur plus petite de x. Le lecteur
ms peine le fait. Il suit de là, en désignant par y li; pre-
bre de cette inégalité, que y > -jr^ ne peut avoir lieu que
'- lO**"
e le théorème dont la démonstration nous occupe puisse se
1 défaut dans le cas de a = 1 , il est nécessaire que
Srieur à tts;;- *-*■' ■'•"'^ venons de voir qiie y > -^r^^ exige
■> T^ — Tîsr • Mais le quotient de la division de N — a' 10" 10** ^
t égal h X + y lorsque a = 1 ; donc le théorème ne peut en défaut que si ce quotient est plus grand que la somme .ombres et ^, c'est-à-dire que — . Or quand
. est égal à ou plus grand que -r où la division n'amène que n — i zéros après la virgule '™ chiffre décimal déjà est un chiffre significatif. Il est ainsi , même lorsqu'on a a = 1 , le procédé fournit n nouveaux la racine toutes les fois que la division n'amène pas moins après la vii^ule, c'est-à-dire toutes les fois que le premier lificatif du quotient est d'un ordre décimal inférieur à celui ' des chiffres calculés par la méthode ordinaire.
Mais il peut se faire que la division n'amène que n — 1 zéros aprè» la virgule, et qu'en conséquence le premier chififre significatif du quotient soit de Tordre décimal du dernier de ceux qu'à fournis la méthode ordinaire. Ainsi la racine cubique de 1,003002 est 1,0009996. .. ; si l'on en a calculé les quatre premiers chiffres on a a = 1,000 ou
a = 1, puis
et le quotient de ces deux nombres commence par 0,001 . Ce cas a déjà été considéré dans le présent numéro , et ce que nous avons dit à son sujet convient encore quand a est égal à l'unité. Lorsqu'il se présente il faut se dispenser de faire la division , et en écrivant n fois le chiffre 9 à la suite des chiffres calculés par la méthode ordinaire on est certain, aussi bien que quand a n'est pas égal à l'unité, d'avoir précisément le résultat qu'eût fourni cette méthode ; car autrement
X serait plus petit que j^r — TT^^ ^^ comme le quotient de la divi-
sion n'est, par hypothèse, pas moindre que jr- , la différence entre x
et ce quotient, c'est-à-dire la quantité ,, serait supérieure à ±,, ce
que nous savons être impossible lorsqu'on a aj < jr- — -jj^ ,
La règle est ainsi complètement démontrée, et nous pouvons énoncer la proposition suivante qui n'est sujette à aucune exception :
Lorsqu^on a, par la méthode ordinairSy calculé m chiffres de Id racine cubique d'un nombrCy on en obtient m — 1 autres en divisant le reste de l'opération par trois fois le carré de la partie connue de la racine. Si le premier chiffre significatif du quotient est du même ordre décimal que la dernière des figures calculées par la méthode ordinaire, on ne fera pas la division, et en écrivant à la suite de ces figures m — 1 fois le chiffre 9 , on aura une valeur de la racine approchée par défaut et dont toutes les figures seront bonnes.
Des deux termes de l'erreur le second , — ^ , est très petit compi
au premier, -— . Or celui-ci est inférieur à ^^„ ,, le plus commur a 10^*H-4 ^
dans ce cas la division fournit n + 1 bons chiffres. Ainsi, ïubique de 422 commence par 7,500 et le cube de 7,500 ou
422 laisse 0,125. Ce reste divisé par le triple du carré de
st 168,75, donne 0,0007407.... On a donc ici x < 0,0008
cc= 64 1
> 7, d'où — < =— ^ < -TTj, et les quatre chiffres de 7407
us considérons enfin les racines des degrés supérieurs au Soient p un nombre quelconque entier et positif, a une )rochée par défaut de la racine p'*" d'un nombre N, et racine exacte ; on a
N— a' p — \ x^ p — Ip — 2a^ pop-' 2~"â 2 3~â*~
1 prend a; = ~ on a une valeur de la racine appro-
ixcès, et l'erreur est égale à
ndition seulement de supposer, comme nous le ferons, qu'on
; assez de chiffres de la racine pour que ^— ^ ne surun millième, on peut en toute sûreté ne retenir de cette
1 de l'erreur que le premier terme, savoir — . Car le
tre parenthèses est dans cette hypothèse plus petit que la la progression par quotient dont le premier terme est 1 et
),001, c'est-à-dire que qô5-) ce qui fait que l'erreur n'atg^ A, A désignant — ~ . On la peut donc représenter
ibilité de n'avoir pas — > , calculée dans la suppositioi
Ire avec une égale facilité loules les valeurs de zéro à - et a < ,717....
par
A, a étant compris entre zéro et Tuiiité, et si on Vt
1000— a pelle E , c'est-à-dire si l'on pose
A = E, on aura A = E — ^—
d'où il suit qu'en remplaçant E par A on ne diminue pas l'erreur la millième partie d'elle-même , et cette faible diminution sera toujours grandement compensée par le fait que pour apprécier A o\
^-— on substituera à a; un nombre plus grand que x et à
a un nombre plus petit que a. On peut donc en toute confiance cal-
T) — ~~ 1 X ce
culer Terreur de x sur l'expression — quand - est assez petit
pour que ^-—^ i^e surpasse pas 0,001 , et afin qu'il tombe au-des-
sous de cette limite il suffit de connsutre les quatre premiers chiffres
de la racine quand p ne dépasse pas 5, les cinq premiers chiffres
quand il ne dépasse pas 32, etc.
Exemple. On possède les huit premiers chiffres de la racine |
onzième de
savoir a = 8,299 392 2, et ce nombre fait donc connaître la racine 1 avec huit chiffres et par défaut. Ici p = 11, et l'on a
On trouve avec le secours d'une table que le premier chiffre signi-
ficatif du quotient ^j- est un quatre qui occupe la huitième place
après la virgule, et qu'en conséquence x est < — . Que dans l'expression de l'erreur on substitue à x cette valeur, qu'on mette 8 pour
a et qu'on donne à p sa valeur 11, il vient g^Qiê? ce qui est < j^^y
et c'est là une limite supérieure de l'erreur. On en aura une limite ^
inférieure en mettant — pour ac et 9 pour a, par quoi l'expression
de l'erreur devient tt-tt^, ce qui est > -r^rr^. La différence de c
to:
deux limites étant moindre que j^r^g, la division pourra fournir hx
;s de la racine. Il faudra la conduire comme pour chiffres du quotient. D'après les indications des N"s
k cet effet d'avoir dix chiffres tant du numérateur îteur. On trouve pour le premier, par défaut,
pour le second, par excès, 1 705 515 098, où le dernier te des dizaines. Faisant usage du procédé abrégé de loir calculé les deux premiers chiffres du quotient, il i5, dont le dernier chiffre représente des unités du écimal. Si du nombre 45 formé par tes deux derniers nche successivement 16 et 8 il vient 29 et 37, et le rment les 15n>8 et 16"' chiffres décimaux de yU s entre 29 et 37. En conséquence on ôtera les deux i du quotient qui vient d'être obtenu , à la suite des 1 écrira un 3, et l'on aura de cette manière huit noule la racine clierchée. Ecrivant le résultai de cette '42919053, à la suite du nombre a, on aura (/M avec nets.
laître avec k -\- i figures la racine d'indice p d'un rminer le nombre n + 1 de figures qu'il faut calur être certain que la division donnera les k — n
supposer qu'après avoir partagé N en tranches de p de la virgule on ait porté la virgule à la suite de la le, ce qui ne modifie nullement la racine dans ses 1 réduit la partie entière à une seule figure. Alors ont connaître de la racine la partie entière et les n ts décimaux, et, partant , on aa; < jrrj^. On posera
^~9 Âfflit "^ TfS ' ^' '^^^ relation donne iO*" >
I, puisque li^ 10 = 1, n > - / fc + log i-^ — V et
ir valeur de n l'entier immédiatement supérieur au de cette inégalité.
le on doit calculer une racine septième avec dix figus fe = 9 et log — — <\ogd < 1 , il suffit de pren-
dre n = 5, c'est-à-dire de se procurer les six premiers ""chiffrci racine, et pour les quatre derniers ou peut compter sur la divi: La formule de Hutton, que je donnerai dans une note, ne d derait la connaissance préalable que de quaire chiffres, et elle en général beaucoup plus de bons chiffres que la formule x = • D'autre part elle est plus laborieuse, elle conduit à des calcu
29. L'expression \/a est une racine de l'équation x" — i c'en est la racine positive unique. Sa valeur peut donc être o au moyen des méthodes par lesquelles on calcule une racine équation donnée, préalablement mise entre deux limites qi contiennent aucune autre. Parmi ces méthodes il en est, commi de Grœffe et de Weddle , qui sont fort expédîtives lorsqu'on j contenter de six ou sept chiffres de la racine. Celles-ci sont I sur l'emploi des tables et sont impraticables sans elles. Mai calculer |/a avec sept chiffres seulement on a la relation 1(^ — log a. La méthode d'approximation que nous allons exposer dépendante de l'existence des tables ; c'est celle de Horner , i décrite dans les Philosophical rraiisacftonspourl'année'lSlf 308 à 335. L'invention en est ailleurs attribuée à Ruffini, et ei Budan, Que divers chercheurs fassent séparément une même verte, c'est là un phénomène qui s'est déjà produit bien souve
30. Représentons par F (x) = une équation quelconque brique, rationnelle et entière ; supposons qu'on en ail séparé li nés, et que l'une d'elles, qu'on se propose de calculer, soi! sépa les nombres 20 et 30. Soit 26,5'24.... la valeur de cette racini le premier chiffre seul est connu. Je commencerai par dimit 20 unités toutes les racines de F(a:) = 0, par quoi j'arriverai équation f{x) = qui a une racine , et une seule , comprisi zéro et 10, et cette racine esl 6,524.... Quelques essais me fer couvrir qu'elle est comprise entre 6 et 7 , et je diminuerai d racines de f{x) = 0. L'équation qu'amènera cette nouvelle op n'est autre que celle qu'on déduirait de l'équation primitive
s de 26; elle aura une racine, et une seule, intre zéro et un, et celle racine est 0,524.... On trouvera ement qu'elle est comprise entre 0,5 et 0,6, et ainsi de t dans cette marche et dans le procédé de calcul que je e que consiste la méthode.
donc on doit extraire la racine n"°" d'une fraction — où o es entiers, on égalera cette racine à x. Chassant le radical ninateur on obtiendra l'équation 6a;" — (1 = 0, |ue racine positive est la quantité cherchée 1/ -, et les ansformées de cette équation n'auront non plus qu'une
le positive qui sera la quantité i / r successivement dimilOmbres représentés par son premier chiffre, par ses deux hiffres, etc.
ur diminuer d'une quantité p les racines d'une équation il suffit d'y remplacer x par x +p , puis on calculera les lissances de x + p ainsi introduites dans l'équation, afin a transformée le premier membre soit ordonné suivant les décroissantes de x. On peut aussi former les dérivées
(a;), de F{a:;), calculer les valeurs que F(a:) et ces
ïvétent pour x = p, et utiliser la formule
ste un procédé de transformation plus rapide, et c'est ce à fait la valeur de la méthode.
Aœ" + Ba;"-' + + K =
proposée. Pour en diminuer les racines de p posons p, d'où X = y + p. Dans (1) mettons y +p à la place de a;, vous qu'on ait formé les puissances de y + p qui figurent îtion. La plus haute, y", a A pour coefficient. Soit Ay, + Mi/-' + .... + Py' + Qy + R =
L AFPBOX. i* ÉD. i
le résultat auquel on sera parvenu. Ce sont les coefficient P, Q, R qu'il s'agit de connaître. Or ai dans (2) on écrit au sa valeur x — p, l'équation obtenue (3) A.(x - pT 4- ii(x - py-* + .... + Q(x-p) + R ne diffère de l'équation (1) que par la forme , car en dévelû diverses puissances de x — p qu'elle renferme on reproduin tion (1). Mais si l'on divise le premier membre de l'équatii X — p, le reste de l'opération est le nombre R ; le quotient
A(x — py-' + M{x-~pY-^ + + Q ,
et, en le divisant lui aussi par x — p, le reste de l'opératio à Q. Et ainsi de suite. Dès lors, pour avoir les coefficients t tion (2) il suffit de diviser par x — j> le premier membre de 1 (1), puis le quotient obtenu , puis le second quotient, etc. 1 de ces diverses divisions feront connaître les coefGcients de 1 (2) , le dernier d'abord , l'avant-dernier ensuite , et le secoi M, en dernier lieu.
34. Dans les diviseurs de la forme a; — p qui se p lorsqu'on met en œuvre la méthode de Borner le nombre p i seul chiffre , et alors le quotient et le reste s'obtiennent im ment et sans aucune écriture intermédiaire. Prenons par es polynôme du 4*™ degré
Aas* 4- Nar' + Pœ' -i- Qa; -(- R ; le premier terme de son quotient par x — p est Aj^, et si présente ce quotient par AxP + N'a;^ + P'a; + Q' et qu'oi le reste R', l'opération montre qu'on a N'=pA+N, P'=pN' + P, Q' = pP'+Q, R'=î Si par exemple on doit diviser
4r= — 14^* — a;' + 60a: — 7 par X — 3 on fera l'écriture que voici
4c5 ^4j.4 + Oj^ a^' + 60j; — 7 + 3 Aa^— 2x? — 6x''—i9x -i- 3
On a commencé par mettre sous le trait ix^ , puis on a dit : 12, et 12 — 14, — 2 ; 3 fois 2, — 6, et — 6 + 0, —t — 6,-18, et — 18 — 1, — 19 ; 3 fois — 19, — 57, et - £
s-4-3, + 9,et + 9 — 7, +2. Le quotient est donc 4.^:* te* — 19 a; + 3, et le reste + 2.
t maintenant à diminuer de 4 unités les racines de l'équa-
2a^' —aScc' + 23ac* — 732a; + 880 = 0, wnt + 4, + 5 i, 4 i: 2 ^ — 1 ; il faudra diviser quatre — 4, et l'opération se présentera ainsi :
^^ — lia? + 128 X
2; —3 successifs sont donc 0, — 12, +8, — 3 ; la transformée te
2a;* — 3a:;' + Sx* — 12x = 0,
lont les racines sont bien 0, +l|,±2^' — l,c'est-âde la proposée diminuées de 4.
iquement pour faciliter l'intelligence du tableau qu'on i ians les quotients, car dans la pratique on s'en doit dist par exemple à diminuer de 3 unités les racines de l'équa-
a;* — 6a:" + 32a; = 0, ont — 2, 0, + 4, + 4 ; on écrira
a;» 6a;" 4- Oa;» + 32a; 4-
ormée est
ir accroître d'une quantité a los racines d'une équation
on procédera comme pour les diminuer de — a. Ainsi , de 3 unités les racines de la transformée que nous venoi nous devrons retrouver l'équation d'où elle a été déduite, ration
x' + ex^ + Ox» — 22X + 45
1; —6 et il est donc bien venu
X* — 6a:^ + 32cc = 0.
37. Dans chaque application de la méthode de H< appelé plusieurs fois à chercher par voie d'essais le pr< d'une racine d'une équation
Ax" +Bx— ' + + Qx + R = 0.
C'est quand la racine est comprise entre i et 10 et que, premier chiffre représente des unités simples , que l'opé plus aisée. Or on peut toujours se placer dans ce cas en ou en divisant les racines de l'équation par une puissanc de 10. Les racines de l'équation ci-dessus sont divisées [ y remplace x par lOx, donc si l'on divise les coefficients second, savoir B, respectivement par 10, 100, 1000, etc au contraire multipliées par 10 si l'on y remplace x par l'on divise les coeRicients k partir de l'avanl-dernier , qui remontant, par les mêmes nombres 10, 100, 1000, etc.
38. Les essais se font en substituant à x dans le prer de l'équation des nombres choisis. On donne dans les tra: le procédé de substitution le plus commode. Supposons c connaître la valeur que x = li fait prendre au premier l'équation
4x3 13x=5x + 7 = 0, on comptera comme si ce membre était écrit ainsi
[(Ax-i3)x — 5]x + T, i;4par3,12,12 — 13, — 1; — 1 par 3, — 3, — 3 —5, 8 par 3, — 24, — 24 + 7, — 17. Ainsi x = 3 rend notre égal à — 17.
ins l'équation dont les racines sont celles d'une équation minuées d'une certaine quantité positive, le premier terme saurait se présenter plus tôt que dans l'équation donnée, Équations étant ordonnées suivant les puissances décrois- X. C'est-à-dire que si tous les termes de l'équation primixposant de x est supérieur à 3 par exemple sont positifs , il : même dans la transformée. Cela résulte du procédé même rmation que nous avons décrit. Qu'on l'emploie en eflfet li de 8 unités par exemple les racines de l'équation
2x« + Ax* 4- 7a^ — 5a^ = 0;
■emiers termes de la transformée seront positifs, car aucune )n n'entrera dans la formation de leurs coefficients. D'ailleurs le de 8 unités les racines de cette équation en écrivant
sy + i{x + 8y + T {X + 8y -b{x + sy .... = 0,
développe les puissances , les termes en a?, a?, a^ seront clusivement par les trois premiers termes de cette dernière et seront par suite tous positifs.
lation qui se présente quand il s'agit d'extraire la racine nombre est de la forme ax" — 6 = 0; tous les termes endants de x dans les diverses transformées seront donc
sont les équations de cette dernière forme que nous avons Dent en vue maintenant. On aura, d'après ce que nous u début de cette exposition, à déterminer le premier chiffre te positive de l'équation de départ et de chacune des transie premier chiffre est celui qui figure dans le plus grand res d'un seul chiffre significatif qui laisse négatif le terme ni de x, quand on diminue de ce nombre les racines. Un 1 effet qui rendrait ce dernier ferme positif serait plus grand ine positive , puisque la transformée qu'il amènerait aurait
tous ses termes positifs et ne pourrait dès lors avoir une tive. Comme les termes de l'équation sont tous constamn à l'exception du dernier, si un chiffre qu'on se propose c trop fort , la considération des seuls deux derniers tern plus souvent à le faire reconnaître.
41 . Soit comme exemple à déterminer les dix prem 231935 de la racine cubique de 7731l| ou — ^ — ■ L'équation di
3x^ — 231935 = 0. Nous calculerons d'abord six chiffre! cédé de Horner et une simple division nous donnera les qi Voici le tableau de l'opération ; il sera suivi des explications
D'abord on a pu se dispenser d'écrire les signes , puis d'avance que tous les termes de la dernière colonne , termes indépendants de x , sont négatifs , tandis que dan colonnes tous les termes sont positifs. Dans les dernier a fait usage d'une notation abréviative ; un nombre entre remplace une série d'autant de zéros qu'il y a d'unités dan et ces zéros suivent la virgule ; ainsi (3)3834 représente (
Ce sont les équations notées A, B, C, D, £ et F qui o
«ix premiers chifïres de la racine cubique , savoir 4, 2, 6, 0, 0, 5. Après le 2 on a mis une virgule pour marquer qu'on a achevé de former la partie entière et que c'est la partie décimale qui va venir. L'équation C n'est pas l'équation qui résulte de la diminution des racines de B de deux unités, mais c'est cette équation dont on a multiplié les racines par 10. Chose semblable est à dire de l'équation D. Clelle-ci ayant fourni un zéro , c'est en multipliant ses racines par 10 -qu'on a fait la transformée E, et l'équation E donnant aussi un zéro, ■on en a pareillement multiplié les racines par 10 pour avoir la transformée F, qui a donné le chiffre 5.
Nous avons donc déjà, pour valeur de la racine cubique , 42,6005 , ei nous sommes parvenus à l'équation
O (ll)3x^ + (5)3834x' + l,633284x — 8,672 = 0.
La racine positive de cette équation est comprise entre 5 et 6. Vu la petitesse des coefficients de a^ et de oc^ cette racine est de peu inférieure à celle de l'équation que Ton formerait en ne conservant que les deux derniers termes, et la racine de l'équation ainsi formée s'obtient en divisant 8,672 par 1,633284. Mais si avant de faire cette division on ôtait de 8,672 les valeurs que prennent les termes en x^ et en x^ pour x = 6, le quotient serait plus petit que la racine positive de G. Or la somme de ces deux valeurs ne s'élève pas à (3)14, ce qui fait que par cette suppression 8,672 ne descend même pas jusqu'à
8,67186. Ainsi les chiffres communs aux deux quotients 8,672
et
1,633284 A AQQOQ/ appartiennent à la racine positive de G. Les deux quotients,
formés à l'aide des Tables, sont 5,309459 et 5,309544. La racine cubique cherchée est donc 42,60053095 à une demi-unité près de l'ordre du dernier chiffre.
42. Comme exercice de calcul abrégé proposons-nous de trouver le
sens de l'approximation de ce résultat. Il est par défaut ou par excès
selon que le dernier terme de l'équation G dont on aurait diminué les
acines de 5,3095 est négatif ou positif (40), donc suivant que le reste
le la division par x — 5,3095 du premier membre de G est négatif
ju positif (33). Or ce reste s'obtient en ajoutant à — 8,672 le produit
par 5,3095 du dernier terme du quotient (34). C'«st donc selon que ce produit sera plus petit ou plus grand que 8^672 que rapproxima* tion sera par défaut ou par excès. Calculons-le avec cinq chiffres après* la virgule. Négligeant le produit (11)3 X 5,3095 il vient (5)3834 X 5,3095 = (4)20par défaut; (4)20+ 1,633284 = 1,633304; 1,633304 X 5,3095 = 8,67202 par défaut. La racine trouvée est donc par excès.
