Mettons G sous la forme
8,672 — (ll)ar« — (5)3834r^ ^ """" 1,633284 •
La racine 5^3095 de cette équation étant exacte à moins d'un demi dix-millième, on trouve qu'en mettant pour x cette valeur dans le second membre de H ce membre est fautif de moins de (13)1 ou i : 10". Nous aurions donc , en effectuant les calculs , x à une unité près du 14*"* chiffre décimal, ce qui nous ferait connaître la racine cubique de 77311 ^ avec vingt chiffres.
44. L'objet principal du présent article est la question suivante^ qui va nous occuper maintenant :
A quel degré d'approximation faut-il calculer un nombre a dont on veut connaître la racine n'**^ avec m chiffres exacts ?
Pour procéder comme dans les questions analogues traitées jusqu'ici,, on doit d'abord se procurer une limite supérieure de l'erreur relative
de la valeur approchée de ^/a.
Cette recherche sera fondée sur la proposition que voici : L'erreur relative d'un produit dont tous les facteurs sont approchés par excès est plus grande que la somme des erreurs relatives de» facteurs. Cette proposition est presque évidente ; en effet, les valeurs exactes des facteurs étant a, b, c, ...,î, et leurs erreurs absolues «> l^j 7> ••• > ^> l'erreur relative du produit est
(a + «)(b + |3) ... (l-\-\)^ah...l
ah,. A
Développant le numérateur et négligeant tous les termes où figurent plus d'une des quantités a,]3, ..., X, cette fraction devient
ab...î + aj3 ...1+ ... H-ab...> " • 1^ ^
ab .,, l ah l
st la somme des erreurs relatives des facteurs ; et celle somme petite que l'erreur relative du produit, puisque les termes laissés en dehors sont tous additifs.
posé, le nombre a est la n'*^' puissance de sa racine n""'. Si valeur approchée est par excès et qu'on en désigne par « l'er- 5olue, on aura, en appelant u l'erreur relative de la racine
- > n«, d'où « < ~.
a na
, l'erreur relative de la racine n'™' d'un nombre approché
:ès est plus petite que la n""' partie de l'erreur relative de
bre,
proposition s'établit directement comme suit :
j/a + a = ic, ^a = y;
■ relative de (/ a + « est égale au rapport . Multiplions
bas par la somme
x'^' + x'-*y -t- + xy-' + y-' ;
ïrt prend la forme
imérateur est égal à a, et les termes du dénominateur sont is grands que a, sauf le dernier, qui vaut a. Comme d'ailleurs t n, le dénominateur est plus grand que na, et par conséquent
relative de j/a + « est inférieure à — .
Maintenant, pour déterminer le degré d'approximation auquel calculer a afm que ^ a ait m chiffres exacts , souvenons-nous reur qui affecte la valeur approchée d'un nombre décimal est re à une unité de l'ordre de celles qu'exprime son m""«
>i seulement l'erreur relative est inférieure à — rr^ — 7, r dési-
s que devient le nombre quand on place la vii^ule à la suite ïremier chiffre significatif (5). Concevons qu'on ait partagé a, de la vii^le, en tranches de n chiffres, et désignons par H levient a quand on en transporte la virgule à la suite de la
première tranche à gauche , laquelle peut avoir moins de n chiffres :
|/H est la valeur que prend (/a quand on en porte la virgule à la suite du premier chiffre significatif, et par conséquent Terreur qui
affecte la valeur approchée de ^/a est moindre qu'une unité de Tordre
de son mM^ chiffre si son erreur relative est inférieure à -^^^ .
j/H.lO"*-*
Donc, d'après les théorèmes du numéro précédent, pour que [/a ait m chiffres exacts il suffit que « satisfasse à l'inégalité
Nous supposons que a a été calculé par excès avec un certain
nombre q de bons chiffres. Soit h la valeur que prend a quand on en
transporte la virgule à la suite du premier chiffre significatif : la va-
(4). Substituant cette valeur dans (1)
leur maximum de - est - ,^ ,
et chassant les dénominateurs, on trouve que si Ton veut que ^/a ait m chiffres exacts il suffit de prendre q assez grand pour satisfaire à Tinégalité
|/H.l(r-« < nh.
Comme [/H et h sont tous deux compris entre 1 et 40, on voit qu'il suffira dans tous les cas de connaître les m + 4 premiers chiffres de a. On voit aussi qu'on peut se borner à en prendre m si n n'est pas inférieur à 10, qu'il suffit d'en avoir m — 1 si n n'est pas inférieur à 100, et ainsi de suite.
Mais le plus souvent on pourra faire avec un moins grand nombre de figures de a. Supposons par exemple qu'il s'agisse d'extraire la racine quatrième d'un nombre qu'on sache d'avance être compris
entre 50 000 et 100 000 : on a alors nh > 20, f/Ë < 2, d'où il suit qu'on satisfait à (2) en faisant q = m — 1 , et par conséquent qu'il n'est nécessaire de calculer que m — 1 chiffres du nombre en question , tandis que la règle énoncée tout à l'heure eût conduit à en calculer m + 4. Dans cet exemple la connaissance préalable de deux limites éloignées entre lesquelles est compris a nous a permis de dé-
terminer le nombre minimum de figures de a dont il est nécessaire de faire usage. Le nombre minimum, disons-nous, parce que n = 4 ne permet dans aucun cas de faire g = m — 2 dans la relation (2).
Au moyen de cette relation, d'ailleurs, il est facile de former, pour chaque valeur attribuée à n, les limites exactes de a entre lesquelles on peut se borner à calculer un nombre donné de chiffres de a. Gomme exemple d'une telle détermination considérons le cas de n = 2, qui est celui des racines carrées, et faisons g = m, pour savoir quand îi suffît de connaître les m premiers chiffres de a. La relation (2) devient, après y avoir fait n = 2, g = m, et élevé de part et d'autre au carré,
La première tranche de a contient soit un , soit deux chiffres. Si
elle n'en contient qu'un, on a H = h, et notre inégalité , résolue par
rapport à h, devient h > y. Elle est donc toujours satisfaite lorsque
la première tranche de a n'a qu'un chiffre, puisque h étant par nature
compris entre 1 et 10 ne saurait être plus petit que j. Si la première
tranche de a renferme deux chiffres , alors H = 10^ , et l'inégalité
revient à h > — = 2,5. Elle est par conséquent satisfaite lorsque la
première tranche de a a deux chiffres, toutes les fois que cette tranche n'est pas plus petite que 25. On a donc la proposition suivante : La connaissance des m premiers chiffres de a suffît toujours pour obtenir f/a avec m chiffres exacts lorsque la première tranche à gauche n'a qu'un chiffre , et , lorsqu'elle en a deux , toutes les fois qu'elle n'est pas inférieure à 25. Si la première tranche, ayant deux chiffres, est plus petite que 25, on se procurera les m + 1 premiers chiffres de a.
Considérons encore les racines du troisième degré , qui , de même que celles du second, se présentent fréquemment. Il faut faire n = 3, et la première tranche peut avoir un, deux , ou trois chiffres. Si elle ne contient qu'un chiffre, onaH = ^;onaH = 10^ si elle en contient deux, et H = lOO/i si elle en contient trois. Faisons g = m — 1 'ur trouver les limites entre lesquelles on se peut contenter des m — 1 Bmiers chiffres de a ; élevant dans (2) les deux membres au cube rès y avoir remplacé n par 3 et g par m — 1, il vient
lOOOH < Wi\ Il est évident, puisque h ne saurait surpasser 10, qu'on ne peut satisfaire à cette inégalité que si H = ^. Remplaçant H par h et ré-
— , et Ton voit que
Ml
pour obtenir y a avec m chiffres exacts il suffit de prendre les m — 1 premiers chiffres de a toutes les fois que la première tranche à gauche n'a qu'un seul chiffre, et que a est, abstraction faite des
virgules, supérieur à 1/ —, soit à 6085
Cherchons les limites entre lesquelles il est nécessaire , dans le cas d'une racine troisième, de posséder les m + 1 premiers chiffres de a. Si dans (2) nous faisons n = 3, g = m, nous obtiendrons la relation qui doit avoir Ueu pour que la connaissance de m chiffres de a suffise. Dès lors , en retournant le signe d'inégalité , nous aurons la relation qui existe quand m chiffres sont insuffisants, et qu'il en faut par conséquent m +1. Elevant en outre les deux membres au cube, il vient
Cette inégahté ne peut être satisfaite que si H = 100^, puisque h est
plus grand que 4. Faisant H = iOOh et résolvant par rapport à h
on trouve h < — == . On voit donc que dans le cas d'une racine cu-
bique il est nécessaire de prendre m + 1 chiffres de a seulement si
la première tranche de a a trois chiffres , et si ce nombre est , abs-
traction faite des virgules , inférieur à — zr , soit à 1934
|/27 46. Pour former l'inégalité (1), d'où a été tirée l'inégalité (2),
nous avons remplacé l'erreur relative de j/a + « par une quantité
plus grande, par — ; aussi pourrait- on penser que les limites que
nous venons d'obtenir , et , en général , celles qu'on déduirait de (2), ne sont pas les plus avantageuses qu'il soit possible de donner; qu'elles sont susceptibles d'être remplacées par d'autres permett dans un plus grand nombre de cas de se borner soit au m premi chiffres de a, soit au m — 1 premiers , etc. Mais on démontrera
~ 61 — en se Tondant sur la remarque suivante : si l'on fait croître r conséquent décroître «, indéfiniment, l'erreur relative de n'est inférieure à — que d'une quantité qui est infiniment ' rapport à — , en <ânt qu'infiniment petite par rapport à a. 2ra sans peine l'exactitude de cette remarque en se reportant u à l'autre des deux manières dont nous sommes parvenus 1° 44 à l'expression — . On en conclura que les limites qui »nt de l'inégalité (2) sont les plus avantageuses qu'il soit de donner , aussi longtemps du moins que m reste indé-
Le c'est une valeur de a approchée par excès qu'on emploie, 1 aura calculé les m premiers chiffres de sa racine Jt'*°" il pas lieu d'augmenter le dernier d'une unité.
Tne construction qui donne une solution approchée du pro-
la quadrature du cercle va nous fournir un premier exemple. istruction est tirée des Nouvelles Annales de mathétnatinée 1856, page 224.
AB une corde égale au rayon, E le î cette corde, C le milieu de l'arc. A
C qu'on porte deux fois le rayon sur férence du côté de A jusqu'en D ; l'arc a 120 degrés et l'arc AD en aura 90.
?e DE qui, prolongé, ira couper la circe en un point F : DF est peu différent lu carré équivalent au cercle, oduit DE.EF étant égal à AE.EB, et AE ainsi que EB
(le rayon est pris égal à l'unité), on a
