JOUJOU

. La racine carrée cherc 1,771981, comme nous l'avions déjà trouvé.

>it encore à calculer, à 0,001 près, la racine quatrième du leux nombres

i partie entière de ai» ayant huit chiffres, celle de sa racir

le en a deux. Nous calculerons donc la racine avec cinq >

ts.

! premier chiffre de ab n'est pas inférieur à 4, cai

( 28 = 420. Aussi suflira-t-il, d'après la relation (2) du

innaitre les cinq premiers chiffres de ab.

On trouve, à une unité près de Tordre de son cinquième chififre , et

par excès,

ab = 44999000;

puis, avec cinq chiffres et par défaut.

/44999000= 81,903; On a donc, à 0,001 près, par défaut ou par excès,

[^âb= 81,903.

ARTICLE SIXIÈME Fonctions quelconques d'une seule variable.

48. Si dans une t^lle fonction Ton substitue un nombre à la variable, la fonction acquerra une certaine valeur. Pour que cette valeur puisse être obtenue à une approximation donnée, à quel degré d'exactitude est-il nécessaire de connaître le nombre que Ton veut substituer ? Telle est la question qui est Tobjet de cet article.

Soient F{x) et F'(x) une fonction de la variable x et sa dérivée. On supposera que la fonction et la dérivée ne soient ni Tune ni Tautre discontinues pour la valeur a attribuée à x. Si cette valeur ne rend pas F'(ac) nul ou infini, si elle ne le rend pas non plus maximum ou minimum, on pourra toujours prendre h assez petit pour que, des deux différences

F(a + h) — F(a) et F(a) — F(a — h) ,

l'une soit en valeur absolue plus petite que hF\a)y et l'autre plus grande.

ontrer, sur deux axes rectangulaires constru [uation est y = F(x), el soit M le point de cett( !st a. Par M menons la tangente à la courbe des X ; on sait que F'(a) est la tangente de l'i 4, Puisque nous supposons F'((i) différent de igle n'est ni droit ni nul. A partir de M et de tint prenons sur la parallèle à l'axe des x des lo , que nous nommerons h, et par les points P, 1 l'axe des y. Soient N et N' les points où ces p be, Q et Q' ceux où elles coupent la tangente. L échir en M , puisque par hypothèse la valeui !nd F'{a;) ni maximum ni minimum. Prenons l'arc NN' soit situé en entier d'un même & et pour que de l'une à l'autre de ses extréir constamment dans le même sens , c'est-à-d int ou toujours décroissant : nous le pouvoi pas d'inflexion en M et que la tangente en h\e à l'axe des x. Alors, si le point N est situé I' se trouve nécessairement au delà de Q' par t situé au delà de Q par rapport à P, N' se trou autres termes, si NP est plus petit que PQ, P'Q', et si NP est plus grand que PQ, N'P' Par conséquent, puisqu'on a, en valeurs absi '(a + h)F{a), N'P' = F{rt) — F(o — h)

PQ = P'Q' = hF'(a), e trouve démontrée.

va suivre on supposera constamment F(a) po 1 n'empêchera de remplacer F(x) par — F(x ïumérique de la fonction une fois trouvée , on [ne — . Alors se rappelant que, x croissant, F ïnt que F'{^) «st positif ou négatif, il est aisé d

c = a, F' (te) est positif et va croissant avec x ! s'éloigne de l'axe des x et lui montre sa co

I Y{a) — ¥(a — h) < ftF'(a).

2» Si, pouro^ = a, l"(x) est positifet va décroissant lorsque comme alors la courbe s'éloigne de l'axe des x et lui montre cavité, on a (Hg. 2) n F(a + h) — F(a) < hF'(a).

3" Si, pour x = a, F'{x) est négatif et va croissant en valei lue avec x, comme alors la courbe se rapproche de l'ase des montre sa concavité, on a (fig. 3) m r(a — h) — F((t) <-hF'{a).

4" Si, pour X = a, F'{x) est négatif et va décroissant er absolue lorsque x croît, comme alors la courbe se rapproche des X et lui montre sa convexité, on a (fig. 4) IV F(a) — ¥{a + h)<— h¥'{a).

Venons-en maintenant à l'objet que nous avons en vue.

F(a) devant être calculé avec m chiffres exacts, il s'agit d miner le degré d'approximation auquel il est, à cet effet, né d'évaluer a. On commencera par déterminer l'ordre des plus unités de F{a), et l'on en déduira l'ordre de celles qu'expri m'*™ chiffre. Désignons par u une unité de ce dernier ordre ; '. tion sera ramenée alors à trouver une valeur de a assez ap pour permettre d'obtenir F{a} à u près.

On considérera ensuite la dérivée F'{a;), afin de savoir de des inégalités I, II, III, IV il conviendra de faire usage. Su par exemple que F'(a;) soit positif et croissant pour x = a; : prendra l'inégalité I et l'on posera

"•"(»)<»' -*•»" ''<wk-

Il suffira donc de calculer a à une quantité près qui ne

de l'inégalité I, que a devra être pris par défaut. Comme I saurait d'ordinaire être exactement connu en nombre décim remplacera par un nombre plus grand, qu'il sera souvent faci procurer rapidement à l'aide des Tables.

a doit être pris par défaut lorsqu'on a mis a ;alités I et III, et par excès quand on a fait u lités II et IV.

mner un exemple de l'emploi de cette méthode

déjà considérée au N» 47, î l'évaluera sept chiffres.

: sans peine que le premier occupera la place d

j/972 par x ; il vient 1/ — , fonction dor

et lorsque a; croît dans les environs d (85+0.)

t évidemment positive et décroissante. On dev 'inégalité II.

972 la dérivée vaut moins de Jqq ; on poser

j, par où l'on voit qu'il suffit de prendre \/912

par excès. On trouve 31,1770. Comme i/972a

onnaitre cette dernière expression avec sept > nous la calculerons avec huit chiffres exaci

qu'il suffit pour cela de prendre cette fractioi

es. On obtient 3,1399190, nombre dont il faut

à— près et par défaut. Il vient 1,7719816,

hiffres exacts, la valeur de (/X. On a donc, av léfaut,

et par suite, avec sept chiffres exacts,