Pour première application , prenons y
nous trouverons, en différentiant par Tart. 16, [a-\-Jc)d.i — 1 .d{a -\-x) àx
d'où nous conclurons
dx
différentiant de nouveau, nous trouverons successivement
à^jr 2 (a -h a:) 2
d? ■" (« 4-^)* """ (a -4- x)' ' d^^ 2.3(flH-j:)» ^ 2.3
Faisant donc x =: o dans les valeurs de r, de -r—î de 3—7 1
de -r^î etc., nous trouverons
substituant ces valeurs et celle de y dans la formule (17) ,
nous obtiendrons
33. Pour seconde application, prenons y = ^a' -f- ^jr, nous avons donc
= \(a'-\-bx) 'b=:\
dx' .' '^ ^[a^^bxf
T3— TT-a(ût -i-bx) b'= f=Er"'
Si nous faisons a: = o , ces valeurs devieudront
ix' I a^
substituant dans la formule (17) ces valeurs de (y), de
34. Pour troisième exemple , prenons j^ = ( a 4- x)"^ ^ nous trouverons, en différentiant,
ûx
DIFFÉRENTIÀTION DES QUANTITÉS TRÂIfSGEIfDiNTES. 23
Faisant j: = o , la valeur de y se réduit à a'" \ donc (j) = a'* , et les coefficients diirérêntiels ci-dessus deviennent
= /ii (m — i) (m — 2) a"»""'. . . .
Substituant ces valeurs de (j^) , de ( ;r^ ) > de f ~-^ \ , etc., dans TéqualioD {i8), on trouve
' ( rt + jtr r zir a*" -t- ma""-^ x -{- m ^ â"-' x'
-I- m ^ il —1 a'^-^x^ -i- [Note I (*).]
DE LA DIFFÉRENTIATIOn DES QUANTITÉS TRAHSCEHDANTES-
35. Les quantités transcendantes sont celles qu^affectent des exposants variables, des logarithmes, des sinus, des cosinus , etc.
36. Proposons-nous de différentier d'abord a*. Soit donc j^ = a' , changeons x en x -\-h eX. y en y \ cette équation deviendra y = a^^ , ou plutôt
(19) / = û'fl* ' {NoteU.)
Il faut donc développer cette expression par rapport aux puissances de A, et trouver ensuite les termes multipliés par la première; or, pour que a^ puisse se développer par la formule du binôme, je ferai a = i 4- i, et par conséquent a* tleviendra
(* ) Voyez les Notes à la fin de l'ouvrage.
Îl4 CALCUL DIFFÉRENTIEL.
On peut trouver les termes multipliés par la première puissance de h sans former tous les produits indiqués par le second membre de l'équation (20). Pour cela, on s'apercevra d'abord que les termes qui contiennent la première puissance de h dans le second et dans le troisième terme de
b b^ l'équation' (20} sont - /i et h. A l'égard des autres
nous remarquerons que si dans un produit tel que
h(h^i) (h^i) (A — 3)..., la partie
est composée de n facteurs, son développement, d'après la théorie des équations, sera de la forme
c'est-à-dire qu'on aura
(2i)/i(/i — i)(A--2)(A — 3)... = A(A'»4-AA«~'...-hMAh-N),
ou, en exécutant l'opération indiquée dans le second membre , il vient
A(A — i)(/i — 2) (A — 3) ..=r//«-»-'4-AA»...4-M/i'H-NA,
et Ton voit que le terme qui contient la première puissance de h dans le produit h (h — 1) [h — 2) (A — 3) , etc., sera NA. Examinons maintenant comment se compose le coefficient N. Or l'Algèbre -nous apprend encore que dans un produit tel que (A — -i) [h — 2) (h — 3) , etc., dont le développement est A" -h /i"~^ . . . -h M A -i- N , le dernier terme N de ce développement se compose du produit des secondes parties — i, — 2, — 3, etc., des binômes h — i, h — 2, h — 3, etc., c'est-à-dire qu'on a, en général,
