X .. jr

59i. Lorsque réquation proposée, outre les termes kxPy'fy Bx/'' jy' -h. . . , contient des polynômes tels que

(M.r'-j* -♦- N JT'-y + . . .)*dx, (P.r' j" -f- Qx^'j"' -f- . . .)M/,

les variables seront encore séparables, si Ton a

(106) /?-|-7=/?'-+-7'-h(r-h5)it=:(/-'+5')^ = (f-4-«)/= (/'+»')/. Pour le démontrer, faisons

(107) {r-\-s)k=in, {r -Jrs') /^ z= n^ et divisons par x" tous les termes du polynôme

DES ËQUITIO^S nrFFÉREHTlL^LLES HOMOGLMES. 'J.i)'5

jtolyaôme deviendro

or les e<|uation& (107) noua donnent

substituant ces valeurs dans l'expressidn pi'écédvnte , nous iruu-

c-equi prouve que lorsque les équations (106) ont lieu, les polynômes élevés à des puissances se réduisent, comme les autres

termes, à des fonctions de ^■

Par conséquent, eu Tnisant - = z, ou plutôt 7 = ix, l'étjuu- I donner un

tion peut

se réduire à une fonction de *.

Pour ei

exemple ,

soit

Xdj--jd.r: =

d.ry'^-

Cette équation écrite ainsi,

- a^yy

on voit qu

e les équations (106) s

ont satisfailesi ain

rons X =

w, et, par conséquent

dï

substituant ces valeurs dans l'équation (108), réduisant et divisant par le facteur commun, on obtiendra

294 CALCUL llîTÉGEiX..

et , par conséquent ,

dx dz

intégrant , on trouvera (art. 873 )

log .T = arc (sin = z) -+- C , ou, en remettant la valeur de z,

log X z=z arc { sin = - I H- C.

392. En général, lorsqu'on a une fonction homogène des variables x ^ y^ z, etc. , on peut toujours séparer l'une des variables, par exemple x,. en faisant jx=^tXr z=:ux^ etc. (*).