On emploie quelquefois dés exposants indéterminés
( * ) Voici ce calcul : soit Mdjr-+-Ndr-+-PcI« = o, nne équation homogène, dans laquelle M, N, P sont des fonctions des trois variables x^y^z]
ces fonctions M", N, P contiendront des termes tels que ko^ y'^/^ Bi^'j^ ^ ,
Cx^" y*^" z^" , et l'on aura p -^ q -^r =z p' -t- q' -^ r' =z p" -^ q" -^ r" = n. Si
dans l'un de ces ternies, par exemple dans A x^ y^ z^ , on substitue les valeurs y =■ tx , z = ux j ce terme deviendra
la même chose ayant lieu pour les autres termes, si Ton y substitue les Ta-
leurs de j et de s , Téquation M dx -f- N d^' h- Pd« = o aura x" pour facteur commun; supprimant ce facteur et observant que dj et ds se changeront en A.tx et en d . ux , elle prendra la forme
ç*( /^.u)dx -^ F(/, tt)d.<x-|-/( r, u)d.ux = o;
et, en exécutant les difierentiations indiquées , on aura
ç)(/, u)dx-i-F(«,u)(/dx-j-xd/) H-/(/, u) (udx-i-xdj«) = o; d'où Ton tirera
fp(r, i/)4-iF(r, u)-i-ii/-(/, i/)]dx = — x[F(<, u)drH-/(f, «)da);
et, par conséquent ,
dx ^ F(/, u)df -+-/(<, u) du
X ~ ^(/,.«)-+-rF(*,u)-+-ii/(f, «.)*
DES ÉQUATIONS DIFFÉRENTIELLES HOMOGENES. !Àg5
pour rendre une équation homogène : soit, par exemple,
l'équation
ajr" X* d jc 4- bxP d ;c -4- cx^ djr z=z o ;
on supposera r = -z* ^ et comme l'exposant k n'est pas une variable , mais une constante inconnue, on différentiera par l'art. 18, et l'on aura
d^==X^2*~'dz et yn-—^km.^
en substituant, on obtiendra
az^jc"dx -h bxPdx -H c^-t*z*"' dj(=: o; cette équation sera homogène si Ton a
^/»i -f- « = />, q -h ^ — *=^/'j éliminant l'indéterminée /r, on trouvera
équation de condition qui doit avoir lieu pour que la proposée puisse être homogène par la substitution de
394. Il existe , sur les fonctions homogènes, un théorème important que nous allons démontrer de la manière suivante :
Soit Mdx -h N d/ la différentielle d'une fonction homogène z entre deux variables x et j^, nous aurons donc l'équation
(109) Mdj? -f- Ndj =:dz.
Faisant- =; ^, et désignant par n la somme des exposants
des variables, d'un des termes de la fonction z, on trouvera (art. 387)
et l'on se rappellera que Q ne contient que la seule variable <7, attendu que la fonciion d'où provient Q ne renfermait
que des termes en-? qui se sont changés en ^ par la suBstî-
tution de ^ à la place de -• Cela posé, remplaçons, dans
l'équation (109) , y par sa valeur qx , substituons Q x" à ^ et appelons M'^ et N' ce que deviennent alors M et N ; l'étion {109) se transformera en
(110) M'd^-f-N'd.çror = d (Qx»)^
la différentielle de qx (art. 14) étant qà-X -I- a'd^, si nous mettons cette valeur à la place de d . ^x , nous obtiendrons
(M'-f-N'^)dx4-N'xd^ = d{Qar»);
ce qui nous apprend que la différentielle totale de Q x" est
(M'-f-N'7)dx4-N'xdy;
mais en effectuant la différentiation indiquée dans le second membre de l'équation précédente, la différentielle totale de Qx" est aussi
ou plutôt , parce que la différentielle d'une fonction Q de<jr est de la forme Fç.d<jf,
Q rt.r»-'dx H-F^.d^.
Comparant ces deux expressions de la différentielle totale de Qx", nous voyous que leurs premiers termes représentent également la différentielle de Qx" prise par rapport à X. Nous aurons donc
si dans cette équation on remet j' au lieu de qx^ M' et N redeviendrout M et N , et Ton aura
OU
M.r -f- N j = /ïz.
