Soit mainteuant l'équation
'"•il ''K + «i!7+'' = °'
dans laquelle P, Q et R sont des fonctions des variables j', y etz; en divisant par P, et en fai; nous pourrons ta mettre sous cette forme :
356 CALCUL INTÉGUAL.
et en faisant -r— == w, -r— : =2= <?, elle deviendra
ilx ' djr '
(2i8) /i-t-Mç' -h N = o.
Cette équation établit une relation entre les coefficients ;; et q de la formule générale
(219) âzz=pda: -^ qdjr ;
sans cette relation , p et çr seraient entièrement arbitraires dans cette formule^ car, comme cela a déjà été observé, elle n'a d'autre sens que d'indiquer que z est une fonction de deux variables x et y^ et cette fonction peut être quel* ' conque 5 ainsi, nous devons regarder, dans l'équation (219), p el q comme deux indéterminées ', éliminant p au moyeu de Téquation (218) , inous obtiendrons
{220) dzH-^dx^z g [dx — Mdx),,
et g restera toujours indéterminé; mais si Ton sait [voyez la Note VI) que lorsqu'une équation de ce genre a lieu, quel que soit q, il faut que l'on ait séparément
(221) da-hNdx = o, d^ — Mdj? = o.
477. Si P, Q et R ne contiennent pas la variable z , il en sera de même de M et de N; alors la seconde des équations (221) sera une équation à deux variables x etj^, et pourra devenir une différentielle exacte à l'aide d'un facteur que nous représenterons par X ; et nous aurons
(222) X (dj — Mdjr) = o.
L'intégrale de cette équation sera une fonction de a: et dey à laquelle on devra ajouter une constante arbitraire — w, que nous faisons précéder du signe négatif, pour que, transposée dans le second membre, elle soit positive; de sorte que nous aurons
Y{.T,jr)^ w;
ÉQUÀTIOlfS DIFFÉR. PARTIELLES DU l" ORDRE. Sî^
d'où nous lî Ferons
Telle sera la valeur de y quî nous sera donnée par là seconde des équations {221)5 ^^5 pour établir qu'elles ont lieu simultanément, il faudra substituer cette valeur dans la première de ces équations 5 or, quoique cette variable n'y soit pas en évidence, on sçnt qu'elle peut être renfermée dans N. Cette substitution , d'après la valeur que nous venons de trouver pour j^, revient à regarder, dans la première des équations (221) , ^ comme une fonction de x et de la constante arbitraire o). Intégrant donc cette première équation, dans cette hypothèse, on trouvera
z :=. — yNdx-f-ç«.
478. Pour donfter un exemple de cette intégration, prenons l'équation
dz dz /
en la comparant àTéquation (217) , nous avons
Ces valeurs étant substituées dans les équations {221) , les convertiront en
(224) dz — a- ^dx = o, fXy — -d« = o.
Soit X le facteur qui rend intégrable cette dernière équation, nous aurons
'\ { dj -.-i-dar ) = o,
ou plutôt
(j?d r — rd j:\ •/ )=<''
équation intégrable si Ton faiti = -5 parce qu'alors son
358 OALCtL IMÉGRAL.
premier membre devient une-différentielle exacte (art. 403) - Egalant donc l'intégrale de cette équation à une constante arbitraire rji», nous aurons '
£t , par conséquent , y = «x.
Au moyen de cette valeur dej^, on convertit la première
des équations (2^4) ^-t)
az — a ao: = o,
OU plutôt en
dzrzradxyi-f-w';
intégrant, en regardant « comme constant, nous obtiendrons
2 = fl y dx y I -+- w' -h ^ w ,
et , par conséquent ,
z = ax sji H- w'' -h «p w.
Remettant pour w sa valeur, on obtiendra^
z = ^xyi + p^ç-
ou plutôt
= a y x^ -h y' -h cp —
479. Dans le cas plus général , où les coefficients P, Q7 fi, de l'équation (216), contiennent les trois variables x, y, z , il peut arriver que les équations (221) ne renferment chacune que les deux variables qui sont en évidence, et que, par conséquent, on puisse les mettre sous les formes
àz'=f{xyz)àx=zo, d^ = F (x, j) dx.
On ne peut intégrer isolément ces équations , en écrivant , comme dans Tart. 472,
ÉQUATIONS DIFFéR. PARTIELLES DU l^*" ORDRE. 359
t-ar alors ou voit qu'il faudrait supposer z constant daus la première équation, et y constant dans la seconde; hypothèses contradictoires, puisque Tune des trois coordonnées x, y, z ne peut être supposée constante dans la première équation sans qu elle le soit dans la seconde.
480. \ oici donc de quelle manière on intégrera les c([ualions ('221)5 dans '^* ^^^ où elles ne renferment chacune que les deux variables qui sont (;n évidence : soient /ix et X les facteurs qui rendent les équations (221) des diiïérentielles exactes; si nous repi-ésenlons ces différentielles par dU et par dV, nous aurons
). (d 3 -+^ N d x) = d U , fx (d j — M d .r) =r d V ;
au moyen de ces valeurs, l'équation (220) deviendra
(225) au = û'-dV.
Comme, le premier membre de cette équation est une différentielle exacte, il faut qu'il en soit de même du second ,
ce qui exige que q - «oit une fonction de V ; représentant
cette fonction par (f\\ l'équation (2 25) deviendra
dU = vj.V.dV:
d'où Ton tirera, en intégrant,
